ローカルディフェオモーフィズムはオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルディフェオモーフィズムはオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのローカルディフェオモーフィズムたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq M_1\)を取り、各\(u \in U\)に対して、あるディフェオモーフィックリストリクション（制限）\(f \vert_{U_u}: U_u \to U_{f (u)}\)を取り、\(f \vert_{U_u} (U_u \cap U)\)は\(M_2\)上でオープン（開）であることを見る; ステップ2: \(f (U)\)は\(M_2\)上でオープン（開）であることを見る。
私たちは、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を使う、これ以上言及することなく。
ステップ1:
\(U \subseteq M_1\)を\(M_1\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
任意のポイント\(u \in U\)に対して、以下を満たす、\(u\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_u \subseteq M_1\)および\(f (u)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (u)} \subseteq M_2\)、つまり、\(f \vert_{U_u}: U_u \to U_{f (u)}\)はディフェオモーフィズムである、がある。
\(U_u \cap U\)は\(U_u\)上でオープン（開）である、したがって、\(f \vert_{U_u} (U_u \cap U) \subseteq U_{f (u)}\)は\(U_{f (u)}\)上でオープン（開）であり、\(M_2\)上でオープン（開）である。
ステップ2:
\(f (U) = f (\cup_{u \in U} U_u \cap U) = \cup_{u \in U} f (U_u \cap U)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{u \in U} f \vert_{U_u} (U_u \cap U)\)、それが\(M_2\)上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として。
