\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアたちおよび\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアたちの内側チャートたちによるカウンタブル（可算）カバーがあることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアたちおよび\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアたちの内側チャートたちによるカウンタブル（可算）カバーがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{((B_{m_j, r'_j} \subseteq M, \phi_{m_j}), (B_{m_j, r_j} \subseteq M, \phi_{m_j} \vert_{B_{m_j, r_j}})) \vert j \in J, ((B_{m_j, r'_j} \subseteq M, \phi_{m_j}), (B_{m_j, r_j} \subseteq M, \phi_{m_j} \vert_{B_{m_j, r_j}})) \in \{m_j \text{ の周りの全ての } r' \text{ - } r \text{ -オープンボール（開球）たちチャートたちペアたち }\}\}, \exists \{((H_{m_l, r'_l} \subseteq M, \phi_{m_l}), (H_{m_l, r_l} \subseteq M, \phi_{m_l} \vert_{H_{m_l, r_l}})) \vert l \in L, ((H_{m_l, r'_l} \subseteq M, \phi_{m_l}), (H_{m_l, r_l} \subseteq M, \phi_{m_l} \vert_{H_{m_l, r_l}})) \in \{m_l \text{ の周りの全ての } r' \text{ - } r \text{ -オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアたち }\}\} (\cup_{j \in J} B_{m_j, r_j} \cup \cup_{l \in L} H_{m_l, r_l} = M)) \text{ 、ここで、 } J, L \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
//
\(r_j\)および\(r'_j\)は任意の同一の\(r\)および\(r'\)に取ることもできるし、それは恣意的に異なるように取ることもできる。
対応する外側チャートたちのセット（集合）も\(M\)のカウンタブル（可算）カバーを構成する。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各インテリア（内部）ポイント\(m \in M\)に対して、\(m\)の周りのある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペア\(((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}}))\)を取る; ステップ2: 各バウンダリー（境界）ポイント\(m \in M\)に対して、\(m\)の周りのある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペア\(((H_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}}))\)を取る; ステップ3: \(\{B_{m, r}\} \cup \{H_{m, r}\}\)は\(M\)をカバーすることを見よう; ステップ4: 任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題を適用し、あるカウンタブル（可算）カバーを得る。
ステップ1:
各インテリア（内部）ポイント\(m \in M\)に対して、\(m\)の周りの任意の\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペア\(((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}}))\)を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つという命題によって。
ステップ2:
各バウンダリー（境界）ポイント\(m \in M\)に対して、\(m\)の周りの任意の\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペア\(((H_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}}))\)を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つという命題によって。
ステップ3:
\(\{B_{m, r}\} \cup \{H_{m, r}\}\)は\(M\)をカバーする。
ステップ4:
任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題によって、あるカウンタブル（可算）サブカバー\(\{B_{m_j, r_j} \vert j \in J\} \cup \{H_{m_l, r_l} \vert l \in L\}\)がある。
したがって、\(\{((B_{m_j, r'_j} \subseteq M, \phi_{m_j}), (B_{m_j, r_j} \subseteq M, \phi_{m_j} \vert_{B_{m_j, r_j}})) \vert j \in J\}\)および\(\{((H_{m_l, r'_l} \subseteq M, \phi_{m_l}), (H_{m_l, r_l} \subseteq M, \phi_{m_l} \vert_{H_{m_l, r_l}})) \vert l \in L\}\)は本命題を満たす。
