同一フィールド（体）上方のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらは同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一フィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらは任意の同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V_1 \cong_{\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }} V_2\)
\(\iff\)
\(dim V_1 = dim V_2 = d\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(dim V_1 = dim V_2 = d\)であると仮定し、\(V_1\)および\(V_2\)に対する任意のベーシス（基底）たちを選び、\(V_1\)に対する当該ベーシス（基底）を\(V_2\)に対する当該ベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップするある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を選ぶ; ステップ2: \(V_1 \cong_{\text{ vectors spaces }} V_2\)であると仮定し、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）および\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）を選び、\(V_2\)は\(V_1\)に対するベーシス（基底）のイメージ（像）をベーシス（基底）として持つことを見る。
ステップ1:
\(dim V_1 = dim V_2 = d\)であると仮定しよう。
\(V_1\)はあるベーシス（基底）\(B_1 = \{{b_1}_1, ...,, {b_1}_d\}\)を持つ; \(V_2\)はあるベーシス（基底）\(B_2 = \{{b_2}_1, ...,, {b_2}_d\}\)を持つ。
あるマップ（写像）\(f: V_1 \to V_2, v^j {b_1}_j \mapsto v^j {b_2}_j\)を定義しよう。
それはウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、\(v^j {b_1}_j\)は\(V_1\)をスパン（張る）し、分解はユニークである: 任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
\(f\)はリニア（線形）である、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題によって: \(f\)は、\({b_1}_j\)を\({b_2}_j\)の上へマップし、当該マッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義されている。
\(f\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、各\(v^j {b_1}_j \neq v'^j {b_1}_j\)に対して、\(f (v^j {b_1}_j) = v^j {b_2}_j \neq v'^j {b_2}_j = f (v'^j {b_1}_j)\)。
\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(V_1\)と\(V_2\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。
ステップ2:
\(V_1 \cong_{\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }} V_2\)であると仮定しよう。
ある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f: V_1 \to V_2\)がある。
\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(B_1 = \{{b_1}_1, ...,, {b_1}_d\}\)を選ぼう。
\(B_2 := \{f ({b_1}_1), ...,, f ({b_1}_d)\}\)のことを考えよう。
\(B_2\)は\(V_2\)に対するベーシス（基底）であることを見よう。
\(v^j f ({b_1}_j)\)は\(V_2\)をスパン（張る）する、なぜなら、各\(v_2 \in V_2\)に対して、\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、以下を満たすある\(v \in V_1\)、つまり、\(f (v) = v_2\)、がある; \(v = v^j {b_1}_j\); \(f (v) = f (v^j {b_1}_j) = v^j f ({b_1}_j) = v_2\)。
\(B_2\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、\(c^j f ({b_1}_j) = 0\)に対して、\(c^j f ({b_1}_j) = f (c^j {b_1}_j) = 0\)、それが含意するのは、\(c^j {b_1}_j = 0\)、それが含意するのは、\(c^j = 0\)。
したがって、\(B_2\)はベーシス（基底）である、そして、\(V_2\)は\(d\)-ディメンショナル（次元）である、なぜなら、\(B_2\)は\(d\)要素たちを持つ。
