フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）とフィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）の間にカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一フィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらは任意の同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の\(k\)個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよび当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）と当該フィールド（体）、当該フィールド（体）上方の\(k\)個の任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）ベクトルたちスペース（空間）たちおよび当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）の間にカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_j \in \{V_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B^*_1, ..., B^*_k\}\): \(B^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(L (V_1, ..., V_k: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(\{V'_1, ..., V'_k\}\): \(V_j \cong_{\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }} V'_j\)
\(\{B'_1, ..., B'_k\}\): \(B'_j \in \{V'_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b'_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'^*_1, ..., B'^*_k\}\): \(B'^*_j = B'_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b'_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(L (V'_1, ..., V'_k: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(f\): \(: L (V_1, ..., V_k: F) \to L (V'_1, ..., V'_k: F), v_{j_1, ..., j_k} {b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} \mapsto v_{j_1, ..., j_k} {b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
"カノニカル"と呼ばれてはいるものの、それはベーシス（基底）たち\(\{B_1, ..., B_k, B'_1, ..., B'_k\}\)に依存する: これが言っているのは、ベーシス（基底）たちがひとたび固定されればそれはカノニカルであるということである。
2: 注1
\(L (V_1, ..., V_k: F) \cong_{\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }} L (V'_1, ..., V'_k: F)\)は即座に帰結される、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題および任意の同一フィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらは任意の同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題から; 本命題の目的は、ある明示的なアイソモーフィズム（同形写像）を提示することである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: \(f\)は is mapping the standard basis for \(L (V_1, ..., V_k: F)\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）を\(L (V'_1, ..., V'_k: F)\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマッピングし当該マッピングを拡張していることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(B^* = \{{b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V_l)\}\)は\(L (V_1, ..., V_k: F)\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）である、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって。
\(B'^* = \{{b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V_l)\}\)は\(L (V'_1, ..., V'_k: F)\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）である、同様に。
したがって、各\(v \in L (V_1, ..., V_k: F)\)はユニークに\(v = v_{j_1, ..., j_k} {b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k}\)として表現される。
したがって、\(f\)は\(L (V_1, ..., V_k: F)\)の各要素をユニークにマップする。
ステップ2:
\(f\)は\(B^*\)を\(B'^*\)の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしている。
\(f\)は\(B^*\)の当該マッピングをリニア（線形）に拡張している。
ステップ3:
任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
4: 注2
特に、\(L (T_mM^*, ..., T_mM^*, {T_mM^*}^*, ..., {T_mM^*}^*)\)と\(L (T_mM^*, ..., T_mM^*, T_mM, ..., T_mM)\)の間に、\(f\)はそのように定義できる: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題。
