ベクトルたちスペース（空間）およびフィールド（体）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）がベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、ここで、\(n\)は\(V\)のディメンション（次元）に等しいかそれより小さい
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n F \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(det M \neq 0\)
\(\implies\)
\(\forall \{v_1, ..., v_n\} \in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）たち }\} (M \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）たち }\})\)
)
\(\land\)
(
\(\exists \{v_1, ..., v_n\} \in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）たち }\} (M \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）たち }\})\)
\(\implies\)
\(det M \neq 0\)
)
//
\(V\)は、インフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）であり得る（そのケースでは、\(n\)は\(\mathbb{N} \setminus \{0\}\)内の任意のものでよい）。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(det M \neq 0\)であると仮定し、\(M \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る; ステップ2: あるリニア（線形）にインディペンデント（独立）な\(\{v_1, ..., v_n\}\)があると仮定し、\(det M \neq 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(det M \neq 0\)であると仮定しよう。
\(\{v_1, ..., v_n\}\)を任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）としよう。
\(M \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見よう。
\(c_1 \sum_{j_1} M^1_{j_1} v_{j_1} + ... + c_n \sum_{j_n} M^n_{j_n} v_{j_n} = 0\)であるとしよう。
それは、\(\sum_{j_1} c_{j_1} M^{j_1}_1 v_1 + ... + \sum_{j_n} c_{j_n} M^{j_n}_n v_n = 0\)である。
したがって、\(\begin{pmatrix} c_1 & ... & c_n \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \end{pmatrix}\)、なぜなら、\(\{v_1, ..., v_n\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
\(det M \neq 0\)であるから、\(M^{-1}\)は存在する、任意のフィールド（体）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）はインバース（逆）を持つ、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、そして、インバース（逆）はこれであるという命題によって。
したがって、\(\begin{pmatrix} c_1 & ... & c_n \end{pmatrix} M M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \end{pmatrix} M^{-1}\)、しかし、左辺は、\(\begin{pmatrix} c_1 & ... & c_n \end{pmatrix} I = \begin{pmatrix} c_1 & ... & c_n \end{pmatrix}\)であり、右辺は、\(\begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \end{pmatrix}\)である。
したがって、\(\begin{pmatrix} c_1 & ... & c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \end{pmatrix}\)。
それが意味するのは、\(M \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であること。
ステップ2:
以下を満たすあるリニア（線形）にインディペンデント（独立）な\(\{v_1, ..., v_n\}\)、つまり、\(M \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、がある。
\(c_1 \sum_{j_1} M^1_{j_1} v_{j_1} + ... + c_n \sum_{j_n} M^n_{j_n} v_{j_n} = 0\)としよう。
それは、\(\sum_{j_1} c_{j_1} M^{j_1}_1 v_1 + ... + \sum_{j_n} c_{j_n} M^{j_n}_n v_n = 0\)である。
したがって、\(\begin{pmatrix} c_1 & ... & c_n \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \end{pmatrix}\)、なぜなら、\(\{v_1, ..., v_n\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
それは、\(M^t \begin{pmatrix} c_1 \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}\)。
\(det M^t = 0\)であると仮定しよう。
すると、\(det M^t\)のランク（階数）は\(n\)より小さいことになる。
連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールによって、ある\(c_j\)を恣意的に取れることになる: 少なくとも、ある解\((c_1, ..., c_n) = (0, ..., 0)\)があることになる。
そうした非ゼロのある\((c_1, ..., c_n)\)は\(M^t \begin{pmatrix} c_1 \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}\)を満たすことになる、したがって、\(\begin{pmatrix} c_1 & ... & c_n \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \end{pmatrix}\)を満たすことになる、したがって、\(\sum_{j_1} c_{j_1} M^{j_1}_1 v_1 + ... + \sum_{j_n} c_{j_n} M^{j_n}_n v_n = 0\)を満たすことになる、それは、\(c_1 \sum_{j_1} M^1_{j_1} v_{j_1} + ... + c_n \sum_{j_n} M^n_{j_n} v_{j_n} = 0\)に他ならない。
それは、\(c_1 \sum_{j_1} M^1_{j_1} v_{j_1} + ... + c_n \sum_{j_n} M^n_{j_n} v_{j_n} = 0\)はある非ゼロ\((c_1, ..., c_n)\)を持っていたことを意味することになる、\(M \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることに反する矛盾。
したがって、\(det M = det M^t \neq 0\)。
