ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）トポロジーでコーディネート（座標）たちスペース（空間）に基づいた定義されたものは、ベーシス（基底）の選択に依存しないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネート（座標）たちスペース（空間）のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーは、ベーシス（基底）の選択に依存しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\), \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B'\): \(= \{b'_1, ..., b'_d\} \subseteq V\), \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(\mathbb{C}^d\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: V \to \mathbb{C}^d\), \(v = v^j b_j \mapsto (v^1, ..., v^d)\)
\(f'\): \(: V \to \mathbb{C}^d\), \(v = v'^j b'_j \mapsto (v'^1, ..., v'^d)\)
\(O\): \(= \{U \subseteq V \vert f (U) \in \mathbb{C}^d \text{ のトポロジー }\}\)
\(O'\): \(= \{U \subseteq V \vert f' (U) \in \mathbb{C}^d \text{ のトポロジー }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O = O'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f' = \phi \circ f\)、ここで、\(\phi: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d\)は当該コーディネート（座標）たちトランジション（遷移）マップ（写像）、であることを見、\(\phi\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクション（全単射）である。
\(f'\)はバイジェクション（全単射）である。
\(f' = \phi \circ f\)、ここで、\(\phi: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d\)は、バイジェクティブ（全単射）コーディネート（座標）たちトランジション（遷移）マップ（写像）、ここで、以下を満たすあるコンスタントインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）\(M\)、つまり、\(\phi: (c^1, ..., c^d)^t \mapsto (M^1_j c^j, ..., M^d_j c^j)^t\)、がある、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
\(g: \mathbb{R}^{2 d} \to \mathbb{C}^d, (x^1, ..., x^{2 d}) \mapsto (x^1 + x^2 i, ..., x^{2 (d - 1) + 1} + x^{2 d} i)\)を、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義内で言及されているホメオモーフィズム（位相同形写像）としよう。
\(g^{-1} \circ \phi \circ g: \mathbb{R}^{2 d} \to \mathbb{R}^{2 d}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(g^{-1} \circ \phi \circ g: (x^1, ..., x^{2 d}) \mapsto (x^1 + x^2 i, ..., x^{2 (d - 1) + 1} + x^{2 d} i) \mapsto (M^1_j (x^{2 (j - 1) + 1} + x^{2 (j - 1) + 2} i), ..., M^d_j (x^{2 (j - 1) + 1} + x^{2 (j - 1) + 2} i)) \mapsto (M^1_j x^{2 (j - 1) + 1}, M^1_j x^{2 (j - 1) + 2}, ..., M^d_j x^{2 (j - 1) + 1}, M^d_j x^{2 (j - 1) + 2})\)。
\(\mathbb{R}^{2 d}\)に、ユークリディアンアトラスを持たせ、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）としよう。
\(g^{-1} \circ \phi \circ g\)に対するフォーミュラは、\(g^{-1} \circ \phi \circ g\)はコーディネート（座標）たちファンクション（関数）に対するノルムの意味においてコンティニュアス（連続）であることを意味する。
したがって、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題によって、\(g^{-1} \circ \phi \circ g\)はトポロジーの意味においてコンティニュアス（連続）である。
\(g^{-1} \circ \phi \circ g\)のインバース（逆）は\(g^{-1} \circ \phi^{-1} \circ g: \mathbb{R}^{2 d} \to \mathbb{R}^{2 d}, (x^1, ..., x^{2 d}) \mapsto ({M^{-1}}^1_j x^{2 (j - 1) + 1}, {M^{-1}}^1_j x^{2 (j - 1) + 2}, ..., {M^{-1}}^d_j x^{2 (j - 1) + 1}, {M^{-1}}^d_j x^{2 (j - 1) + 2})\)である、同様に。
したがって、\(g^{-1} \circ \phi^{-1} \circ g\)はコンティニュアス（連続）である、同様に。
したがって、\(\phi = g \circ g^{-1} \circ \phi \circ g \circ g^{-1}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ2:
したがって、各\(U \in O\)に対して、\(f' (U) = \phi \circ f (U) \subseteq \mathbb{C}^d\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f (U) \subseteq \mathbb{C}^d\)はオープン（開）であり、\(\phi\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
それが意味するのは、\(U \in O'\)。
対称性によって、各\(U' \in O'\)に対して、\(U' \in O\)。
したがって、\(O = O'\)。
