ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）はインバース（逆）を持つ、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、そして、インバース（逆）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）は、アイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、あるユニタリマトリックス（行列）に右からあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）は当該マトリックス（行列）たちのデターミナント（行列式）たちのプロダクト（積）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists M^{-1}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: インバーティブル（可逆）であることは非ゼロデターミナント（行列式）を持つことに等しいことを見よう; ステップ2: 任意のポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）は、アイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、あるユニタリマトリックス（行列）に右からあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、という命題を用いる。
ステップ1:
インバーティブル（可逆）であることは、非ゼロデターミナント（行列式）を持つことに等しい、任意のフィールド（体）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）はインバース（逆）を持つ、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、そして、インバース（逆）はこれであるという命題によって。
したがって、\(det M \neq 0\)であることを見よう。
ステップ2:
任意のポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）は、アイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、あるユニタリマトリックス（行列）に右からあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、という命題によって、\((U D)^* M (U D) = I\)、ここで、\(U\)はユニタリマトリックス（行列）であり、\(D\)はポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）である。
したがって、\(det ((U D)^* M (U D)) = det I = 1 \neq 0\)、しかし、\(det ((U D)^* M (U D)) = det ((U D)^*) det M det (U D)\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）は当該マトリックス（行列）たちのデターミナント（行列式）たちのプロダクト（積）であるという命題によって。
したがって、\(det M \neq 0\)。
