リーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、もしも、アイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルが\(0\)である場合、マップ（写像）はコネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、任意のリーグループ（群）たち間2個の任意のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第1ホモモーフィズム（準同形写像）と第2ホモモーフィズム（準同形写像）のマルチプリカティブインバース（乗法逆）のマルチプリケーション（乗法）としてのマップ（写像）はあるコンスタントランク（階数）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）はコンスタントランク（階数）\(0\)を持つ場合、当該マップ（写像）は各コネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、もしも、アイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルが\(0\)である場合、当該マップ（写像）は各コネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(: G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(d f_1\): \(: T_1{G_1} \to T_1{G_2}\), \(= 1 \text{ におけるディファレンシャル }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d f_1 = 0\)
\(\implies\)
\(\forall T \in \{M_1 \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\} (f \vert_T \in \{\text{ 全てのコンスタントマップ（写像）たち }\})\)
//
2: 注
特に、\(1\)を包含するコネクテッド（連結された）コンポーネント\(T_1\)に対して、\(f \vert_T = 1\)、なぜなら、\(f \vert_T (1) = 1\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンスタントランク（階数）マップ（写像）である; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はあるコンスタントランク（階数）を持つ、任意のリーグループ（群）たち間2個の任意のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第1ホモモーフィズム（準同形写像）と第2ホモモーフィズム（準同形写像）のマルチプリカティブインバース（乗法逆）のマルチプリケーション（乗法）としてのマップ（写像）はあるコンスタントランク（階数）を持つという命題によって: その"注"内に言及されている即座の系。
したがって、\(f\)はあるコンスタントランク（階数）を持つ、しかし、\(f\)は\(1\)においてランク（階数）\(0\)を持つから、\(f\)はコンスタント\(0\)ランク（階数）を持つ。
ステップ2:
\(T\)を\(M_1\)の任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントとしよう。
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）はコンスタントランク（階数）\(0\)を持つ場合、当該マップ（写像）は各コネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであるという命題によって、\(f \vert_T\)はコンスタントである。
