\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、もしも、マップ（写像）はコンスタントランク（階数）\(0\)を持つ場合、マップ（写像）はコネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）つき、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるランク（階数）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するランク（階数）定理を認めている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題を認めている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントである任意のマップ（写像）はグローバルにコンスタントであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）はコンスタントランク（階数）\(0\)を持つ場合、当該マップ（写像）は各コネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m \in M_1 (Rank (f)_m = 0)\)
\(\implies\)
\(\forall T \in \{M_1 \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\} (f \vert_T \in \{\text{ 全てのコンスタントマップ（写像）たち }\})\)
//
2: 注
本命題のためには、\(M_1\)および\(M_2\)はバウンダリー（境界）なしであるように要求されている、なぜなら、本命題は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するランク（階数）定理を使う、それは、バウンダリー（境界）なしのドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を要求する。
即座の系として、\(M_1\)はコネクテッド（連結された）である時、\(f\)はコンスタントである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in M_1\)の周りに、あるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m\)でその上方で\(f\)がコンスタントであるものがあることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(m \in M_1\)を任意のものとしよう。
\(f\)はコンスタントランク（階数）\(0\)を持つから、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するランク（階数）定理によって、以下を満たす、\(m\)の周りのあるチャート\((U_m \subseteq M_1, \phi_m)\)および\(f (m)\)の周りのあるチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)、つまり、\(\phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m)}: \phi_m (U_m) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)は\((x^1, ..., x^{d_1}) \mapsto (0, ..., 0)\)である、がある。
それが意味するのは、\(f\)は\(U_m\)上方でコンスタントであること。
ステップ2:
\(T \subseteq M_1\)を\(M_1\)の任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントとしよう。
\(T\)は\(M_1\)のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題によって。
\(f \vert_T: T \to M_2\)は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上方でいたる所でローカルにコンスタントなマップ（写像）である: 各\(t \in T\)の周りに、\(t\)の\(M_1\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq M_1\)でその上方で\(f\)がコンスタントであるものがある、ステップ1によって、そして、\(U_t \cap T \subseteq T\)は\(t\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）でその上方で\(f \vert_T\)がコンスタントであるものである。
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントである任意のマップ（写像）はグローバルにコンスタントであるという命題によって、\(f \vert_T\)はグローバルにコンスタントである。
