リーグループ（群）たち間2個のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第1ホモモーフィズム（準同形写像）と第2ホモモーフィズム（準同形写像）のマルチプリカティブインバース（乗法逆）のマルチプリケーション（乗法）としてのマップ（写像）はコンスタントランク（階数）を持つことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）つき、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるランク（階数）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）、当該リニアマップ（線形写像）のドメイン（定義域）の上への任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、当該リニアマップ（線形写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパースペース（超空間）からの任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該リニアマップ（線形写像）を第1アイソモーフィズム（同形写像）の後に行ない第2アイソモーフィズム（同形写像）の前に行なうコンポジションは当該リニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーグループ（群）たち間2個の任意のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第1ホモモーフィズム（準同形写像）と第2ホモモーフィズム（準同形写像）のマルチプリカティブインバース（乗法逆）のマルチプリケーション（乗法）としてのマップ（写像）はあるコンスタントランク（階数）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(: G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(f'\): \(: G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(h\): \(: G_1 \to G_2, g \mapsto f (g) (f' (g))^{-1}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall g \in G_1 (Rank ({d h}_g) = Rank ({d h}_1))\)
//
2: 注
\(h\)は、一般的に、リーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）ではない、なぜなら、\(h (g g') = f (g g') (f' (g g'))^{-1} = f (g) f (g') (f' (g) f' (g'))^{-1} = f (g) f (g') (f' (g'))^{-1} (f' (g))^{-1} = f (g) h (g') (f' (g))^{-1}\)、それは、\(h (g) h (g') = f (g) (f' (g))^{-1} f (g') (f' (g'))^{-1}\)に等しい保証はない、\(G_2\)はアーベリアンでない限りは。
ある即座の系として、\(f\)はコンスタントランク（階層）を持つ、なぜなら、\(f'\)は\(f' = 1\)、それはリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、と取ることができる、そして、\(h (g) = f (g) (f' (g))^{-1} = f (g) 1^{-1} = f (g) 1 = f (g)\)、したがって、\(h = f\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(h (g_0 g) = R_{(f' (g_0))^{-1}} \circ L_{f (g_0)} \circ h (g)\)であることを見、\(h': G_1 \to G_2, g \mapsto h (g_0 g), = R_{(f' (g_0))^{-1}} \circ L_{f (g_0)} \circ h = h \circ L_{g_0}\)を取る; ステップ2: \({d h'}_1 = {d R_{(f' (g_0))^{-1}}}_{f (g_0)} \circ {d L_{f (g_0)}}_1 \circ {d h}_1 = {d h}_{g_0} \circ {d L_{g_0}}_1\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(h\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(f\)および\(f'\)は\(C^\infty\)である、そして、マルチプリカティブインバース（乗法逆）マップ（写像）およびマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）は\(C^\infty\)である: それは、\(: G_1 \to G_1 \times G_1 \to G_2 \times G_2 \to G_2 \times G_2 \to G_2, g \mapsto (g, g) \mapsto (f (g), f' (g)) \mapsto (f (g), (f' (g))^{-1}) \mapsto f (g) (f' (g))^{-1}\)。
各\(g_0 \in G_j\)に対して、\(L_{g_0}: G_j \to G_j, g \mapsto g_0 g\)および\(R_{g_0}: G_j \to G_j, g \mapsto g g_0\)を\(g_0\)による左トランスレーションおよび右トランスレーションとしよう、それらはディフェオモーフィズムたちである。
各\(g_0, g \in G_1\)に対して、\(h (g_0 g) = R_{(f' (g_0))^{-1}} \circ L_{f (g_0)} \circ h (g)\)であることを見よう。
\(h (g_0 g) = f (g_0 g) (f' (g_0 g))^{-1} = f (g_0) f (g) (f' (g_0) f' (g))^{-1} = f (g_0) f (g) (f' (g))^{-1} (f' (g_0))^{-1} = f (g_0) h (g) (f' (g_0))^{-1} = L_{f (g_0)} (h (g)) (f' (g_0))^{-1} = R_{(f' (g_0))^{-1}} (L_{f (g_0)} (h (g)))\)。
そこで、\(h': G_1 \to G_2, g \mapsto h (g_0 g), = R_{(f' (g_0))^{-1}} \circ L_{f (g_0)} \circ h = h \circ L_{g_0}\)を取ろう、それは、\(C^\infty\)である、\(C^\infty\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として。
ステップ2:
\({d h'}_1 = {d R_{(f' (g_0))^{-1}}}_{f (g_0) h (1)} \circ {d L_{f (g_0)}}_{h (1)} \circ {d h}_1 = {d h}_{g_0 1} \circ {d L_{g_0}}_1\)。
\(h (1) = f (1) (f' (1))^{-1} = 1 1^{-1} = 1 1 = 1\)であるから、\({d h'}_1 = {d R_{(f' (g_0))^{-1}}}_{f (g_0)} \circ {d L_{f (g_0)}}_1 \circ {d h}_1 = {d h}_{g_0} \circ {d L_{g_0}}_1\)。
ステップ3:
\({d R_{(f' (g_0))^{-1}}}_{f (g_0)}: T_{f (g_0)}G_2 \to T_{f (g_0) (f' (g_0))^{-1}}G_2\)、それは、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、\(R_{(f' (g_0))^{-1}}\)はディフェオモーフィズムである。
\({d L_{f (g_0)}}_1: T_1G_2 \to T_{f (g_0)}G_2\)、それは、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、\(L_{f (g_0)}\)はディフェオモーフィズムである。
\({d h}_1: T_1G_1 \to T_1G_2\)。
\({d h}_{g_0}: T_{g_0}G_1 \to T_{h (g_0)}G_2\)。
\({d L_{g_0}}_1: T_1G_1 \to T_{g_0}G_1\)、それは、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、\(L_{g_0}\)はディフェオモーフィズムである。
任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）、当該リニアマップ（線形写像）のドメイン（定義域）の上への任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、当該リニアマップ（線形写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパースペース（超空間）からの任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該リニアマップ（線形写像）を第1アイソモーフィズム（同形写像）の後に行ない第2アイソモーフィズム（同形写像）の前に行なうコンポジションは当該リニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持つという命題によって、\(Rank ({d h'}_1) = Rank ({d h}_1) = Rank ({d h}_{g_0})\)。
