フィールド（体）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、列たちまたは行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールを知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n F \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(det M \neq 0\)
\(\iff\)
\(\{M \text{ の全ての列たち }\} \in \{n \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ 列たちベクトルたちスペース（空間） } \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
)
\(\land\)
(
\(det M \neq 0\)
\(\iff\)
\(\{M \text{ の全ての行たち }\} \in \{n \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ 行たちベクトルたちスペース（空間） } \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
)
//
2: 証明
全体戦略: 連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールを適用する; ステップ1: \(M (c^1, ..., c^n)^t = 0\)を取り、当該列たちに対して結論する; ステップ2: \(M^t (c^1, ..., c^n)^t = 0\)を取り、当該行たちに対して結論する。
ステップ1:
\(M\)の\(j\)-番目列を\(M_j\)と記そう。
\(M (c^1, ..., c^n)^t = 0\)を取ろう。
それは、\(c^1 M_1 + ... + c^n M_n = 0\)に他ならない。
したがって、当該列たちがリニアにインディペンデント（線形独立）であるということは、\(M (c^1, ..., c^n)^t = 0\)が0解しか持たないことに他ならない。
連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールによって、それは、\(det M \neq 0\)であることに他ならない: もしも、\(det M = 0\)であった場合、当該ランク（階数）は\(n\)より小さいことになり、\(c^j\)たちの内の少なくとも1個は恣意的に取れる。
したがって、\(det M \neq 0\)、もしも、当該列たちのセット（集合）がリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って。
ステップ2:
ステップ1によって、\(det M^t \neq 0\)、もしも、当該列たちのセット（集合）がリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って。
しかし、\(M^t\)の当該列たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である、もしも、\(M\)の当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、明らかに。
他方で、\(det M^t = det M\)。
したがって、\(det M \neq 0\)、もしも、\(M\)の行たちのセット（集合）がリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って。
