'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'カテゴリー（圏）の定義
話題
About: カテゴリー（圏）
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カテゴリー（圏）の定義を知っている。
- 読者は、'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、 'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'カテゴリー（圏）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*C\): \(\in \{\text{ 全てのカテゴリー（圏）たち }\}\)で、下で指定される\(Obj (C)\)および\(Mor (C)\)を持つもの
//
コンディションたち:
\(Obj (C) = \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\} = \{O_j \vert j \in J\}\)
\(\land\)
\(Mor (C) = \{Mor (O_j, O_l) \vert O_j, O_l \in Obj (C)\}\)、ここで、\(Mor (O_j, O_l) = \{O_j \text{ から } O_l \text{ の中への全てのリニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(C\)は本当にカテゴリー（圏）であることを見よう。
\(O_1, O_2, O_3, O_4 \in Obj (C)\)および\(f_1 \in Mor (O_1, O_2), f_2 \in Mor (O_2, O_3), f_3 \in Mor (O_3, O_4)\)を任意のものとしよう。
1) \(f_2 \circ f_1 \in Mor (O_1, O_3)\): \(f_2 \circ f_1\)は\(O_1\)から\(O_3\)の中へのものである; \(f_2 \circ f_1\)はリニア（線形）である; \(f_2 \circ f_1\)はアイソメトリック（等長写像）である、なぜなら、各\(v \in O_1\)に対して、\(\Vert f_2 \circ f_1 (v) \Vert = \Vert f_1 (v) \Vert\)、なぜなら、\(f_2\)はアイソメトリック（等長写像）である、\(= \Vert v \Vert\)、なぜなら、\(f_1\)はアイソメトリック（等長写像）である。
2) \(\exists id_{O_j} \in Mor (O_j, O_j) (f_1 \circ id_{O_1} = f_1 \land id_{O_2} \circ f_1 = f_1)\): アイデンティティマップ（恒等写像）\(id_{O_j}: O_j \to O_j\)を取る、それは、本当にリニア（線形）アイソメトリック（等長写像）である、そして、\(f_1 \circ id_{O_1} = f_1\)および\(id_{O_2} \circ f_1 = f_1\)。
3) \(f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1\): それは成立する、任意のマップ（写像）のプロパティとして。
"'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'カテゴリー（圏）"を持つことはできない、なぜなら、1)は成立しないであろう: \(f_2 \circ f_1\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）でないことになる、なぜなら、\(f_2 \circ f_1 (r v) = f_2 (\overline{r} f_1 (v)) = \overline{\overline{r}} f_2 (v) = r f_2 (v)\)、コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）でなく、リニア（線形）である。
