'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、コドメイン（余域）はコンプリート（完備）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'カテゴリー（圏）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）は任意のコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップするという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題を認めている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、もしも、当該ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、当該コドメイン（余域）はコンプリート（完備）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全ての'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V_1 \in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(V_2 \in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_2\)上の任意のコーシーシーケンス（列）\(s\)を取り、\(f^{-1} \circ s\)は\(V_1\)上のコーシーシーケンス（列）であることを見、\(f^{-1} \circ s\)のコンバージェンス（収束ポイント）\(v\)を取る; ステップ2: \(f (v)\)は\(s\)のコンバージェンス（収束ポイント）であることを見る。
ステップ1:
\(s: \mathbb{N} \to V_2\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
\(f^{-1} \circ s\)は\(V_1\)上のコーシーシーケンス（列）である、任意のリニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）は任意のコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップするという命題によって。
\(V_1\)はコンプリート（完備）であるから、\(f^{-1} \circ s\)はある\(v \in V_1\)へコンバージ（収束）する、それは、実のところユニークなコンバージェンス（収束ポイント）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題および任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題によって。
ステップ2:
\(f (v)\)は\(s\)のコンバージェンス（収束ポイント）であることを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (f^{-1} \circ s (n), v) = \Vert f^{-1} \circ s (n) - v \Vert \lt \epsilon\)、がある。
しかし、\(\Vert s (n) - f (v) \Vert = \Vert f (f^{-1} \circ s (n)) - f (v) \Vert = \Vert f (f^{-1} \circ s (n) - v) \Vert\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である、\(= \Vert f^{-1} \circ s (n) - v \Vert\)、なぜなら、\(f\)はアイソメトリック（等長写像）である、したがって、\(\Vert s (n) - f (v) \Vert \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(s\)は\(f (v)\)へコンバージ（収束）する。
したがって、\(V_2\)はコンプリート（完備）である。
