ベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists B \in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を適用する。
ステップ1:
任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を適用しよう。
\(S' := V\)は\(V\)のジェネレイター（作成元たち）である。
\(V = \{0\}\)である時は、\(\emptyset\)がベーシス（基底）である。
\(V \neq \{0\}\)であると仮定しよう、これ以降。
\(v \neq 0\)である任意の\(v \in V\)を取ろう。
\(S := \{v\}\)は、\(V\)のリニアにインディペンデント（線形独立）なサブセット（部分集合）であり\(S'\)内に包含されているものである。
任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題によって、\(S'\)は、小さくして\(B\)にし\(S \subseteq B\)であるようにできる。
したがって、ベーシス（基底）\(B\)がある。
