グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(\sim_{G, l}\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in g' G)\}\)
\(\sim_{G, r}\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in G g')\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sim_{G, l} \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\land\)
\(\sim_{G, r} \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
//
2: 注
\(G\)は、ノーマルサブグループ（正規部分群）である必要はない。
したがって、クオシエント（商）セット（集合）たち\(G' / \sim_{G, l}\)および\(G' / \sim_{G, r}\)はウェルデファイント（妥当に定義された）である、任意のサブグループ（部分群）\(G\)に対して、\(G' / \sim_{G, l}\)および\(G' / \sim_{G, r}\)はグループ（群）たちではない、もしも、\(G\)がノーマルサブグループ（正規部分群）でない場合は: 任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることによるクウォシェント（商）セット（集合）はグループ（群）である、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合に限って、という命題を参照のこと。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\sim_{G, l}\) satisfies the conditions to be an equivalence relation; Step 2: see that \(\sim_{G, r}\) satisfies the conditions to be an equivalence relation.
Step 1:
Let us see that \(\sim_{G, l}\) satisfies the conditions to be an equivalence relation.
1) \(\forall g' \in G' (g' \sim_{G, l} g')\): reflexivity: \(g', g' \in g' G\).
2) \(\forall g'_1, g'_2 \in G' (g'_1 \sim_{G, l} g'_2 \implies g'_2 \sim_{G, l} g'_1)\): symmetry: if \(g'_1 \sim_{G, l} g'_2\), there is a \(g' \in G'\) such that \(g'_1, g'_2 \in g' G\), then, \(g'_2, g'_1 \in g' G\), so, \(g'_2 \sim_{G, l} g'_1\).
3) \(\forall g'_1, g'_2, g'_3 \in G' ((g'_1 \sim_{G, l} g'_2 \land g'_2 \sim_{G, l} g'_3) \implies g'_1 \sim_{G, l} g'_3)\): transitivity: if \(g'_1 \sim_{G, l} g'_2 \land g'_2 \sim_{G, l} g'_3\), there are a \(g'_4 \in G'\) such that \(g'_1, g'_2 \in g'_4 G\) and a \(g'_5 \in G'\) such that \(g'_2, g'_3 \in g'_5 G\), but as \(g'_2 \in g'_4 G, g'_5 G\), \(g'_2 = g'_4 g_1 = g'_5 g_2\) for some \(g_1, g_2 \in G\), so, \(g'_5 = g'_4 g_1 {g_2}^{-1}\), and as \(g'_3 = g'_5 g_3\) for a \(g_3 \in G\), \(g'_3 = g'_4 g_1 {g_2}^{-1} g_3 \in g'_4 G\), so, \(g'_1, g'_3 \in g'_4 G\).
Step 2:
Let us see that \(\sim_{G, r}\) satisfies the conditions to be an equivalence relation.
1) \(\forall g' \in G' (g' \sim_{G, r} g')\): reflexivity: \(g', g' \in G g'\).
2) \(\forall g'_1, g'_2 \in G' (g'_1 \sim_{G, r} g'_2 \implies g'_2 \sim_{G, r} g'_1)\): symmetry: if \(g'_1 \sim_{G, r} g'_2\), there is a \(g' \in G'\) such that \(g'_1, g'_2 \in G g'\), then, \(g'_2, g'_1 \in G g'\), so, \(g'_2 \sim_{G, r} g'_1\).
3) \(\forall g'_1, g'_2, g'_3 \in G' ((g'_1 \sim_{G, r} g'_2 \land g'_2 \sim_{G, r} g'_3) \implies g'_1 \sim_{G, r} g'_3)\): transitivity: if \(g'_1 \sim_{G, r} g'_2 \land g'_2 \sim_{G, r} g'_3\), there are a \(g'_4 \in G'\) such that \(g'_1, g'_2 \in G g'_4\) and a \(g'_5 \in G'\) such that \(g'_2, g'_3 \in G g'_5\), but as \(g'_2 \in G g'_4, G g'_5\), \(g'_2 = g_1 g'_4 = g_2 g'_5\) for some \(g_1, g_2 \in G\), so, \(g'_5 = {g_2}^{-1} g_1 g'_4\), and as \(g'_3 = g_3 g'_5\) for a \(g_3 \in G\), \(g'_3 = g_3 {g_2}^{-1} g_1 g'_4 \in G g'_4\), so, \(g'_1, g'_3 \in G g'_4\).
