グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(\sim_l\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in g' G)\}\)
\(\sim_r\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in G g')\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sim_l \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\land\)
\(\sim_r \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
//
2: 注
\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である必要はない。
したがって、クウォシェント（商）セット（集合）たち\(G' / \sim_l\)および\(G' / \sim_r\)は任意のサブグループ（部分群）\(G\)に対してウェルデファインド（妥当に定義された）である、\(G' / \sim_l\)および\(G' / \sim_r\)はグループ（群）たちではないが、もしも、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）でない場合: 任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることによるクウォシェント（商）セット（集合）はグループ（群）である、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合に限ってを参照のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sim_l\)はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるためのコンディションたちを満たすことを見る; ステップ2: \(\sim_r\)はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(\sim_l\)はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
1) \(\forall g' \in G' (g' \sim_l g')\): リフレキシビティ（反射性）: \(g', g' \in g' G\)。
2) \(\forall g'_1, g'_2 \in G' (g'_1 \sim_l g'_2 \implies g'_2 \sim_l g'_1)\): シンメトリー（対称性）: もしも、\(g'_1 \sim_l g'_2\)である場合、以下を満たすある\(g' \in G'\)、つまり、\(g'_1, g'_2 \in g' G\)、がある、すると、\(g'_2, g'_1 \in g' G\)、したがって、\(g'_2 \sim_l g'_1\)。
3) \(\forall g'_1, g'_2, g'_3 \in G' ((g'_1 \sim_l g'_2 \land g'_2 \sim_l g'_3) \implies g'_1 \sim g'_3)\): トランジティビティ（遷移性）: もしも、\(g'_1 \sim_l g'_2 \land g'_2 \sim_l g'_3\)である場合、以下を満たすある\(g'_4 \in G'\)、つまり、\(g'_1, g'_2 \in g'_4 G\)、およびある\(g'_5 \in G'\)、つまり、\(g'_2, g'_3 \in g'_5 G\)、がある、しかし、\(g'_2 \in g'_4 G, g'_5 G\)であるから、\(g'_2 = g'_4 g_1 = g'_5 g_2\)、何らかの\(g_1, g_2 \in G\)に対して、したがって、\(g'_5 = g'_4 g_1 {g_2}^{-1}\)、そして、ある\(g_3 \in G\)に対して\(g'_3 = g'_5 g_3\)から、\(g'_3 = g'_4 g_1 {g_2}^{-1} g_3 \in g'_4 G\)、したがって、\(g'_1, g'_3 \in g'_4 G\)。
ステップ2:
\(\sim_r\)はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
1) \(\forall g' \in G' (g' \sim_r g')\): リフレキシビティ（反射性）: \(g', g' \in G g'\)。
2) \(\forall g'_1, g'_2 \in G' (g'_1 \sim_r g'_2 \implies g'_2 \sim_r g'_1)\): シンメトリー（対称性）: もしも、\(g'_1 \sim_r g'_2\)である場合、以下を満たすある\(g' \in G'\)、つまり、\(g'_1, g'_2 \in G g'\)、がある、すると、\(g'_2, g'_1 \in G g'\)、したがって、\(g'_2 \sim_r g'_1\)。
3) \(\forall g'_1, g'_2, g'_3 \in G' ((g'_1 \sim_r g'_2 \land g'_2 \sim_r g'_3) \implies g'_1 \sim g'_3)\): トランジティビティ（遷移性）: もしも、\(g'_1 \sim_r g'_2 \land g'_2 \sim_r g'_3\)である場合、以下を満たすある\(g'_4 \in G'\)、つまり、\(g'_1, g'_2 \in G g'_4\)、およびある\(g'_5 \in G'\)、つまり、\(g'_2, g'_3 \in G g'_5\)、がある、しかし、\(g'_2 \in G g'_4, G g'_5\)であるから、\(g'_2 = g_1 g'_4 = g_2 g'_5\)、何らかの\(g_1, g_2 \in G\)に対して、したがって、\(g'_5 = {g_2}^{-1} g_1 g'_4\)、そして、ある\(g_3 \in G\)に対して\(g'_3 = g_3 g'_5\)から、\(g'_3 = g_3 {g_2}^{-1} g_1 g'_4 \in G g'_4\)、したがって、\(g'_1, g'_3 \in G g'_4\)。
