グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、クウォシェント（商）グループ（群）に対して、クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）でありノーマルサブグループ（正規部分群）はそのカーネル（核）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）、当該サブグループ（部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）に対して、当該クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）はあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であり当該ノーマルサブグループ（正規部分群）はそのカーネル（核）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(G' / G\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）グループ（群） }\)
\(f\): \(G' \to G' / G, g' \mapsto [g']\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(G = f \text{ のカーネル（核） }\)
//
2: 注
任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題によって、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のあるノーマルサブグループ（正規部分群）である; 本命題によって、任意のグループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）はあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）である。
したがって、全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たちは全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのカーネル（核）たちである。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(f\) is a group homomorphism; Step 2: see that \(G\) is the kernel of \(f\).
Step 1:
Let us see that \(f\) is a group homomorphism.
\(f (1) = [1]\), which is the identity in \(G' / G\).
For each \(g'_1, g'_2 \in G'\), \(f (g'_1 g'_2) = [g'_1 g'_2] = [g'_1] [g'_2] = f (g'_1) f (g'_2)\).
For each \(g' \in G'\), \(f (g'^{-1}) = [g'^{-1}] = [g']^{-1} = f (g')^{-1}\).
So, \(f\) is a group homomorphism.
Step 2:
Let us see that \(G\) is the kernel of \(f\).
\(f (g') = [g'] = [1]\) means that \(g' G = 1 G\), which means that \(g' g = 1\) for a \(g \in G\), which means that \(g' = g^{-1} \in G\).
On the other hand, for each \(g \in G\), \(f (g) = [g] = [1]\), because \(g G = 1 G\), by the proposition that for any group, the multiplication map with any fixed element from left or right is a bijection.
