グループ（群）に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の上へのカノニカル（正典）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）は、当該グループ（群）の当該ノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の上へのカノニカル（正典）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(G' / G\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）グループ（群） }\)
\(f\): \(G' \to G' / G, g' \mapsto [g']\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(G = f \text{ のカーネル（核） }\)
//
2: 注
任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題によって、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）である; 本命題によって、任意のグループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）はあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）である。
したがって、全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たちは全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのカーネル（核）たちである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ2: \(G\)は\(f\)のカーネル（核）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。
\(f (1) = [1]\)、それは\(G' / G\)内のアイデンティティ（単位要素）である。
各\(g'_1, g'_2 \in G'\)に対して、\(f (g'_1 g'_2) = [g'_1 g'_2] = [g'_1] [g'_2] = f (g'_1) f (g'_2)\)。
各\(g' \in G'\)に対して、\(f (g'^{-1}) = [g'^{-1}] = [g']^{-1} = f (g')^{-1}\)。
したがって、\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
ステップ2:
\(G\)は\(f\)のカーネル（核）であることを見よう。
\(f (g') = [g'] = [1]\)が意味するのは、\(g' G = 1 G\)、それが意味するのは、\(g' g = 1\)、ある\(g \in G\)に対して、それが意味するのは、\(g' = g^{-1} \in G\)。
他方で、各\(g \in G\)に対して、\(f (g) = [g] = [1]\)、なぜなら、\(g G = 1 G\)、任意のグループ（群）に対して、任意の固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であるという命題によって。
