ヒルベルトスペース（空間）およびそのノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対して、ヒルベルトスペース（空間）からノルム付きコベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）があることの記述/証明
話題
About: ヒルベルトスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）およびその任意のクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）に対して、当該スペース（空間）は、ベクトルたちスペース（空間）、当該サブスペース（部分空間）およびそのオーソゴーナルコンプリメント（直交補）のダイレクトサムとして、であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）およびそのノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対して、当該ヒルベルトスペース（空間）からノルム付きコベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)
\(V^*\): \(= V \text{ のノルム付きコベクトルたちスペース（空間） }\)
\(f\): \(: V \to V^*, v \mapsto \langle \bullet, v \rangle\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのバイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題の、\(V^*\)の各要素はユニークな\(v \in V\)に対して\(\langle \bullet, v \rangle\)であるという部分は広く"リーツ代表定理"と呼ばれている。
しかし、本命題はそれより多くを含んでいる: リーツ代表定理そのものは、各\(v \in V\)に対して、\(\langle \bullet, v \rangle \in V^*\)であることも、\(f\)がインジェクティブ（単射）であることも、\(f\)がコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）であることも、\(f\)が'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）であることも言っていない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\langle \bullet, v \rangle \in V^*\)であることを見る; ステップ2: \(f\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ3: \(f\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）であることを見る; ステップ4: \(f\)は'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）であることを見る。
ステップ1:
\(g: V \to F, v' \mapsto \langle v', v \rangle \in V^*\)であることを見よう。
各\(v_1, v_2 \in V\)および\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\(g (r_1 v_1 + r_2 v_2) = \langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v \rangle = r_1 \langle v_1, v \rangle + r_2 \langle v_2, v \rangle = r_1 g (v_1) + r_2 g (v_2)\)、したがって、\(g\)はリニア（線形）である。
\(sup_{v' \in V \setminus \{0\}} \vert g (v') \vert / \Vert v' \Vert = \vert \langle v', v \rangle \vert / \sqrt{\langle v', v' \rangle} \le \sqrt{\langle v', v' \rangle} \sqrt{\langle v, v \rangle} / \sqrt{\langle v', v' \rangle}\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(= \sqrt{\langle v, v \rangle} \lt \infty\)、したがって、\(g\)はバウンデッド（有界）である。
したがって、\(g \in V^*\)。
したがって、\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
ステップ2:
\(f\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in V\)を\(v_1 \neq v_2\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(f (v_1) = f (v_2)\)であったと仮定しよう。
すると、\(\langle \bullet, v_1 \rangle = \langle \bullet, v_2 \rangle\)、したがって、\(\langle v_1 - v_2, v_1 \rangle = \langle v_1 - v_2, v_2 \rangle\)、したがって、\(\langle v_1 - v_2, v_1 \rangle - \langle v_1 - v_2, v_2 \rangle = 0\)、しかし、左辺は\(\langle v_1 - v_2, v_1 - v_2 \rangle\)であった、したがって、\(\langle v_1 - v_2, v_1 - v_2 \rangle = 0\)、それは、\(v_1 - v_2 = 0\)を含意することになる、したがって、\(v_1 = v_2\)、矛盾。
したがって、\(f (v_1) \neq f (v_2)\)。
したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。
\(f\)はサージェクティブ（全射）であることを見よう。
\(g \in V^*\)を任意のものとしよう。
\(g = 0\)である時、\(g = \langle \bullet, 0 \rangle\)。
\(g \neq 0\)であると仮定しよう、これ以降。
\(V^` := g^{-1} (0)\)としよう。
\(V^`\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(V^`\)は\(V\)のクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）である、なぜなら、\(\{0\}\)は\(F\)のクローズドサブセット（閉部分集合）である、任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題および任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\({V^`}^{\perp}\)を\(V^`\)のオーソゴーナルコンプリメント（直交補）としよう。
\(V\)は、ベクトルたちスペース（空間）、\(V^`\)および\({V^`}^{\perp}\)のダイレクトサムとして、である、任意のヒルベルトスペース（空間）およびその任意のクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）に対して、当該スペース（空間）は、ベクトルたちスペース（空間）、当該サブスペース（部分空間）およびそのオーソゴーナルコンプリメント（直交補）のダイレクトサムとして、であるという命題によって。
\(g \neq 0\)であるから、\(\{0\} \subset {V^`}^{\perp}\)、なぜなら、もしも、\({V^`}^{\perp} = \{0\}\)であったら、各\(v \in V\)に対して、\(v = v^` + 0\)、ここで、\(v^` \in V^`\)、ということになる、なぜなら、\(V\)は、ベクトルたちスペース（空間）、\(V^`\)および\({V^`}^{\perp}\)のダイレクトサムとして、であった、したがって、\(v = v^` \in V^`\)、したがって、\(V^` = V\)、それが意味するのは、\(g = 0\)、矛盾。
したがって、以下を満たすある\(w \in {V^`}^{\perp}\)、つまり、\(w \neq 0\)、がある、しかし、\(\Vert w \Vert = 1\)を取ろう、それは可能である、なぜなら、\({V^`}^{\perp}\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）である: \(w / \Vert w \Vert \in {V^`}^{\perp}\)を代わりに取ればよい。
各\(v' \in V\)に対して、\(g (v') w - g (w) v' \in V^`\)、なぜなら、\(g (g (v') w - g (w) v') = g (v') g (w) - g (w) g (v') = 0\)。
したがって、\(0 = \langle g (v') w - g (w) v', w \rangle = \langle g (v') w, w \rangle - \langle g (w) v', w \rangle = g (v') \langle w, w \rangle - g (w) \langle v', w \rangle = g (v') - \langle v', \overline{g (w)} w \rangle\)、したがって、\(g (v') = \langle v', \overline{g (w)} w \rangle\)。
それが意味するのは、\(g (v') = \langle v', v \rangle\)、ここで、\(v := \overline{g (w)} w\)、それが意味するのは、\(g = \langle \bullet, v \rangle\)。
したがって、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
ステップ3:
\(f\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in V\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう。
\(f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = \langle \bullet, r_1 v_1 + r_2 v_2 \rangle = \overline{r_1} \langle \bullet, v_1 \rangle + \overline{r_2} \langle \bullet, v_2 \rangle = \overline{r_1} f (v_1) + \overline{r_2} f (v_2)\)。
したがって、\(f\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）である。
ステップ4:
\(f\)は'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）であることを見よう。
各\(v \in V\)に対して、\(\Vert f (v) \Vert = sup_{v' \in V \setminus \{0\}} \vert f (v) (v') \vert / \Vert v' \Vert = sup_{v' \in V \setminus \{0\}} \vert \langle v', v \rangle \vert / \Vert v' \Vert \le sup_{v' \in V \setminus \{0\}} \sqrt{\vert \langle v', v' \rangle \vert} \sqrt{\vert \langle v, v \rangle \vert} / \sqrt{\vert \langle v', v' \rangle \vert}\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(= sup_{v' \in V \setminus \{0\}} \sqrt{\vert \langle v, v \rangle \vert} = \sqrt{\vert \langle v, v \rangle \vert} = \Vert v \Vert\)、そして、\(\vert f (v) (v') \vert / \Vert v' \Vert = \Vert v \Vert\)は実のところ\(v' = v\)によって実現される、なぜなら、\(\vert f (v) (v) \vert / \Vert v \Vert = \vert \langle v, v \rangle \vert / \Vert v \Vert = \Vert v \Vert^2 / \Vert v \Vert = \Vert v \Vert\)、したがって、\(\Vert f (v) \Vert = \Vert v \Vert\)。
したがって、\(f\)は'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）である。
