トポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間コンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((T_1, \sigma (O_1))\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)で、\(T_1\)は任意のトポロジー\(O_1\)を持つ任意のトポロジカルスペース（空間）であるもの
\((T_2, \sigma (O_2))\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)で、\(T_2\)は任意のトポロジー\(O_2\)を持つ任意のトポロジカルスペース（空間）であるもの
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を適用する。
ステップ1:
各\(U \in O_2\)に対して、\(f^{-1} (U) \in O_1 \subseteq \sigma (O_1)\)。
\(f\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
