トポロジカルスペース（空間）およびサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）はスペース（空間）のサブスペース（部分空間）に対するサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）から当該トポロジカルスペース（空間）の中へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該スペース（空間）の当該サブスペース（部分空間）に対するサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((T', O')\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）\(\sigma (O')\)を持つもの
\((T, O)\): \(\subseteq T'\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(\sigma (O)\): \(= \text{ 当該ボレル } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
\(\sigma (O')_T\): \(= T \text{ に対する } T' \text{ のサブスペース（部分空間） } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sigma (O) = \sigma (O')_T\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: インクルージョン（封入）\(\iota: T \to T'\)のことを考え、\(\iota\)は\(\sigma (O)\)および\(\sigma (O')\)に関してメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ2: \(\sigma (O')_T \subseteq \sigma (O)\)であることを見る; ステップ3: \(\sigma (O) \subseteq \sigma (O')_T\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
インクルージョン（封入）\(\iota: T \to T'\)のことを考えよう。
\(\iota\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）から当該トポロジカルスペース（空間）の中へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(\iota\)は\(\sigma (O)\)および\(\sigma (O')\)に関してメジャラブル（測定可能）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
ステップ2:
\(\sigma (O')_T \subseteq \sigma (O)\)であることを見よう。
\(a \in \sigma (O')_T\)を任意のものとしよう。
\(a = a' \cap T\)、ここで、\(a' \in \sigma (O')\)。
しかし、\(a = a' \cap T = \iota^{-1} (a') \in \sigma (O)\)、ステップ1によって。
ステップ3:
\(\sigma (O')_T\)は\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である: メジャラブル（測定可能）スペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義の"注"を参照のこと。
\(O \subseteq \sigma (O')_T\)、なぜなら、各\(U \in O\)に対して、\(U = U' \cap T\)、ここで、\(U' \in O'\)、しかし、\(U' \in \sigma (O')\)。
したがって、\(\sigma (O)\)は、\(O\)を包含する全ての\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）であるから、\(\sigma (O) \subseteq \sigma (O')_T\)。
ステップ4:
したがって、\(\sigma (O) = \sigma (O')_T\)。
