メジャラブルマップ（測定可能写像）たちのファイナイト（有限）-プロダクトマップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルマップ（測定可能写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトメジャラブルスペース（測定可能空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちの任意のファイナイト（有限）-プロダクトマップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{(M_{1, 1}, A_{1, 1}), ..., (M_{n, 1}, A_{n, 1})\}\): \((M_{j, 1}, A_{j, 1}) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\{(M_{1, 2}, A_{1, 2}), ..., (M_{n, 2}, A_{n, 2})\}\): \((M_{j, 2}, A_{j, 2}) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: M_{j, 1} \to M_{j, 2} \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(f\): \(: M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1} \to M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}, (m_1, ..., m_n) \mapsto (f_1 (m_1), ..., f_n (m_n))\)
//
ここで、各プロダクトセット（集合）はプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つ。
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を適用する; ステップ1: 各\(a_{1, 2} \times ... \times a_{n, 2} \subseteq M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}\)に対して、\(f^{-1} (a_{1, 2} \times ... \times a_{n, 2}) = {f_1}^{-1} (a_{1, 2}) \times ... \times {f_n}^{-1} (a_{n, 2})\)であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を適用する。
\(M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は\(\{a_{1, 2} \times ... \times a_{n, 2} \subseteq M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2} \vert a_j \in A_{j, 2}\}\)によって生成されたものであるので、見る必要があるのは、\(f^{-1} (a_{1, 2} \times ... \times a_{n, 2})\)が\(M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内にあることだけである。
\(f^{-1} (a_{1, 2} \times ... \times a_{n, 2}) = {f_1}^{-1} (a_{1, 2}) \times ... \times {f_n}^{-1} (a_{n, 2})\)、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題によって。
ステップ2:
\(f_j\)はメジャラブル（測定可能）であるから、\({f_j}^{-1} (a_{j, 2}) \in A_{j, 1}\)。
\(M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は\(\{a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 1} \subseteq M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1} \vert a_j \in A_{j, 1}\}\)によって生成されているので、\({f_1}^{-1} (a_{1, 2}) \times ... \times {f_n}^{-1} (a_{n, 2})\)は当該\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内にある。
したがって、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
