\(d\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）の任意のプロダクトサブセット（部分集合）は、プロダクトサブセット（部分集合）たちでそれらの各々はあるコンポーネントサブセット（部分集合）および他の全体セット（集合）たちを取るものであるものたちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(d\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(B (\mathbb{R}^d)\): \(= \text{ 当該ボレル } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(B (\mathbb{R})\): \(= \text{ 当該ボレル } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
\(A\): \(= \mathbb{R}^d \text{ に対する当該 } d \text{ -プロダクト } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B (\mathbb{R}^d) = A\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B (\mathbb{R}^d)\)は\(S := \{(r_1, r'_1] \times ... \times (r_d, r'_d]\}\)によって生成されたものであることを見る; ステップ2: \(A\)は、\(S\)を包含するあるセット（集合）によって生成されたものであることを見、\(B (\mathbb{R}^d) \subseteq A\)を結論する; ステップ3: 各\(a_j \in B (\mathbb{R})\)に対して、\(a_1 \times ... \times a_d \in B (\mathbb{R}^d)\)であることを見る; ステップ4: \(B (\mathbb{R}^d)\)は、\(\{a_1 \times ... \times a_d\}\)を包含するあるセット（集合）によって生成されたものであることを見、\(A \subseteq B (\mathbb{R}^d)\)を結論する; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(B (\mathbb{R}^d)\)は\(S := \{(r_1, r'_1] \times ... \times (r_d, r'_d] \subseteq \mathbb{R}^d\}\)によって生成されたものである、それを、私たちは、よく知られている事実として受け入れる。
ステップ2:
\(A\)は\(S' := \{a_1 \times ... \times a_d \vert a_j \in B (\mathbb{R})\}\)によって生成されたものである、プロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義によって。
\(S \subseteq S'\)、なぜなら、\((r_j, r'_j] \in B (\mathbb{R})\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}^d) \subseteq A\)。
ステップ3:
\(a_j \in B (\mathbb{R})\)を任意のものとしよう。
\(a_1 \times ... \times a_d \in B (\mathbb{R}^d)\)であることを見よう。
\(\pi_j: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\)を、第\(j\)-番目コンポーネントの中へのプロジェクション（射影）としよう。
\(\pi_j\)はコンティニュアス（連続）である、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題および任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、したがって、メジャラブル（測定可能）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
\(a_1 \times ... \times a_d = \cap_{l \in \{1, ..., d\}} S_{l, 1} \times ... \times S_{l, d}\)、ここで、\(j = l\)である時は\(S_{l, j} = a_l\)、そうでなければ\(S_{l, j} = \mathbb{R}\)、任意のプロダクトセット（集合）の任意のプロダクトサブセット（部分集合）は、プロダクトサブセット（部分集合）たちでそれらの各々はあるコンポーネントサブセット（部分集合）および他の全体セット（集合）たちを取るものであるものたちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
しかし、\(S_{l, 1} \times ... \times S_{l, d} = \mathbb{R} \times ... \times \mathbb{R} \times a_l \times \mathbb{R} \times ... \times \mathbb{R} = {\pi_l}^{-1} (a_l)\)。
したがって、\(a_1 \times ... \times a_d = \cap_{l \in \{1, ..., d\}} {\pi_l}^{-1} (a_l)\)。
\(\pi_l\)はメジャラブル（測定可能）であるから、\({\pi_l}^{-1} (a_l) \in B (\mathbb{R}^d)\)、したがって、\(a_1 \times ... \times a_d \in B (\mathbb{R}^d)\)。
ステップ4:
したがって、\(B (\mathbb{R}^d)\)は、\(S' = \{a_1 \times ... \times a_d \vert a_j \in B (\mathbb{R})\}\)を包含するあるセット（集合）によって生成されたものである。
しかし、\(A\)は\(S'\)によって生成されている。
したがって、\(A \subseteq B (\mathbb{R}^d)\)。
ステップ5:
したがって、\(B (\mathbb{R}^d) = A\)。
3: 注
これは、簡単には、任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対する\(B (T^d)\)および\(A\)ケースに一般化できない、なぜなら、\(B (T^d)\)は\(S := \{\cup_{j \in J} U_{j, 1} \times ... \times U_{j, d}\}\)、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、によって生成されている、\(A\)は\(S' := \{a_1 \times ... \times a_d \vert a_j \in B (T)\}\)によって生成されている、そして、\(\cup_{j \in J} U_{j, 1} \times ... \times U_{j, d}\)は\(S'\)の要素ではない。
