\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのファイナイト（有限）-プロダクトはアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の\(\pi\)-システムの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の\(d\)-システムの定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）および当該セット（集合）上の任意の\(\pi\)-システムに対して、当該システムによって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該システムによって生成された\(d\)-システムであるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）でそのコンポーネントたちの一つが任意の\(2\)サブセット（部分集合）たちの差であるものは、プロダクトサブセット（部分集合）たちでそれらの対応するコンポーネントたちが第1サブセット（部分集合）および第2サブセット（部分集合）であるものたちの差であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）でそのコンポーネントたちの一つが任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）であるものは、プロダクトサブセット（部分集合）たちでそれらの対応するコンポーネントたちが当該サブセット（部分集合）たちであるものたちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちの任意のファイナイト（有限）-プロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{(M_1, A_1), ..., (M_n, A_n)\}\): \((M_j, A_j) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(M\): \(= M_1 \times ... \times M_n\), \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(A\): \(= M \text{ のプロダクト } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
\(M_{p, p + q}\): \(= M_p \times ... \times M_{p + q}\)
\(A_{p, p + q}\): \(= M_{p, p + q} \text{ のプロダクト } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
\(M'\): \(= M_1 \times ... \times M_{p - 1} \times M_{p, p + q} \times M_{p + q + 1} \times ... \times M_n\), \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(A'\): \(= M' \text{ のプロダクト } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(A = A'\)、ここで、\(M\)はカノニカル（正典）に\(M'\)と同定されている
//
2: 注
\(M\)と\(M'\)は厳密には同じではない、しかし、カノニカル（正典）に'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。
\(A = A'\)が意味をなすのは、\(M\)と\(M'\)が同定されているからである: 異なるセット（集合）たちの任意の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちが等しいことはあり得ない。
本命題を逐次に適用することで、\(M\)の任意のアソシエーション（結合）が許される: \(A = A'\)の後、\(M_{1, p - 1}\)または\(M_{p + q + 1, n}\)内の任意のアソシエーション（結合）を選ぶことができる、\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を保存したままで、等々と続く。
3: 証明
全体戦略: 任意のセット（集合）および当該セット（集合）上の任意の\(\pi\)-システムに対して、当該システムによって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該システムによって生成された\(d\)-システムであるという命題を使う; ステップ1: \(S_{p, p + q} := \{a_p \times ... \times a_{p + q} \vert a_j \in A_j\}\)を取り、\(S_{p, p + q}\)は\(M_{p, p + q}\)上の\(\pi\)-システムであることを見る; ステップ2: \(D := \{d \in A_{p, p + q} \vert a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times d \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \in A\}\)を取り、\(D\)は、\(S_{p, p + q}\)を包含する\(M_{p, p + q}\)上のある\(d\)-システムであることを見る; ステップ3: \(A_{p, p + q} \subseteq D\)であり\(S' := \{a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times a_{p, p + q} \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \vert a_j \in A_j \land a_{p, p + q} \in A_{p, p + q}\} \subseteq A\)であることを見る; ステップ4: \(S := \{a_1 \times ... \times a_n \vert a_j \in A_j\} \subseteq S'\)であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
いくつかの記法を定義しよう。
\(S := \{a_1 \times ... \times a_n \vert a_j \in A_j\}\)。
\(S_{p, p + q} := \{a_p \times ... \times a_{p + q} \vert a_j \in A_j\}\)。
\(S' := \{a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times a_{p, p + q} \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \vert a_j \in A_j \land a_{p, p + q} \in A_{p, p + q}\}\)。
注意として、\(A = \sigma (S)\); \(A_{p, p + q} = \sigma (S_{p, p + q})\); \(A' = \sigma (S')\)。
\(S_{p, p + q}\)は\(M_{p, p + q}\)上の\(\pi\)-システムであることを見よう。
確かに、\(S_{p, p + q} \subseteq Pow (M_{p, p + q})\)。
\(S_{p, p + q}\)は空でない、なぜなら、\(M_p \times ... \times M_{p + q} \in S_{p, p + q}\)。
各\(a_p \times ... \times a_{p + q}, a'_p \times ... \times a'_{p + q} \in S_{p, p + q}\)に対して、\((a_p \times ... \times a_{p + q}) \cap (a'_p \times ... \times a'_{p + q}) = (a_p \cap a'_p) \times ... \times (a_{p + q} \cap a'_{p + q})\)、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって、\(\in S_{p, p + q}\)、なぜなら、\(a_j \cap a'_j \in A_j\)。
したがって、\(S_{p, p + q}\)は\(M_{p, p + q}\)上のある\(\pi\)-システムである。
ステップ2:
\(D := \{d \in A_{p, p + q} \vert a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times d \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \in A\}\)を取ろう。
\(S_{p, p + q} \subseteq D\)、なぜなら、各\(a_p \times ... \times a_{p + q} \in S_{p, p + q}\)に対して、\(a_p \times ... \times a_{p + q} \in A_{p, p + q}\)および\(a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times a_p \times ... \times a_{p + q} \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \in A\)。
\(D\)は\(M_{p, p + q}\)上のある\(d\)-システムであることを見よう。
確かに、\(D \subseteq A_{p, p + q} \subseteq Pow (M_{p, p + q})\)。
\(M_{p, p + q} \in D\)、なぜなら、\(M_{p, p + q} \in A_{p, p + q}\)および\(a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times M_{p, p + q} \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \in A\)。
\(d_1 \subseteq d_2\)を満たす各\(d_1, d_2 \in D\)に対して、\(d_2 \setminus d_1 \in D\)、なぜなら、\(d_2 \setminus d_1 \in A_{p, p + q}\)、そして、\(a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times (d_2 \setminus d_1) \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n = (a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times d_2 \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n) \setminus (a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times d_1 \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n)\)、任意のプロダクトセット（集合）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）でそのコンポーネントたちの一つが任意の\(2\)サブセット（部分集合）たちの差であるものは、プロダクトサブセット（部分集合）たちでそれらの対応するコンポーネントたちが第1サブセット（部分集合）および第2サブセット（部分集合）であるものたちの差であるという命題によって、\(\in A\)。
以下を満たす各\(s: \mathbb{N} \to D\)、つまり、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (n) \subseteq s (n + 1)\)、に対して、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} s (n) \in D\)、なぜなら、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} s (n) \in A_{p, p + q}\)、そして、\(a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times \cup_{n \in \mathbb{N}} s (n) \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n =\cup_{n \in \mathbb{N}} (a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times s (n) \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n)\)、任意のプロダクトセット（集合）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）でそのコンポーネントたちの一つが任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）であるものは、プロダクトサブセット（部分集合）たちでそれらの対応するコンポーネントたちが当該サブセット（部分集合）たちであるものたちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(\in A\)。
したがって、\(D\)は\(M_{p, p + q}\)の\(d\)-システムである。
ステップ3:
\(A_{p, p + q} \subseteq D\)、任意のセット（集合）および当該セット（集合）上の任意の\(\pi\)-システムに対して、当該システムによって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該システムによって生成された\(d\)-システムであるという命題によって、なぜなら、\(A_{p, p + q} = \sigma (S_{p, p + q})\)で\(D\)は、\(S_{p, p + q}\)によって生成された\(d\)-システムを包含する\ある(d\)-システム、それは、\(S_{p, p + q}\)を包含する\(d\)-システムたちのインターセクション（共通集合）である、である。
したがって、\(S' \subseteq A\)、なぜなら、各\(a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times a_{p, p + q} \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \in S'\)に対して、\(a_{p + q + 1} \in A_{p, p + q} \subseteq D\)、それが意味するのは、\(a_1 \times ... \times a_{p - 1} \times a_{p + q + 1} \times a_{p + q + 1} \times ... \times a_n \in A\)。
したがって、\(A' = \sigma (S') \subseteq A\)。
ステップ4:
\(S \subseteq S'\)、なぜなら、\(a_p \times ... \times a_{p + q} \in A_{p, p + q}\)。
したがって、\(A = \sigma (S) \subseteq \sigma (S') = A'\)。
ステップ5:
したがって、\(A = A'\)。
