メジャラブルマップ（測定可能写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトメジャラブルスペース（測定可能空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちの任意のファイナイト（有限）-プロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちの任意のファイナイト（有限）-プロダクトマップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述1
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M_0, A_0)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\{(M_{1, 1}, A_{1, 1}), ..., (M_{n, 1}, A_{n, 1})\}\): \((M_{j, 1}, A_{j, 1}) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\{(M_{1, 2}, A_{1, 2}), ..., (M_{n, 2}, A_{n, 2})\}\): \((M_{j, 2}, A_{j, 2}) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: M_0 \times M_{j, 1} \to M_{j, 2} \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(f\): \(: M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1} \to M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}, (m_0, m_1, ..., m_n) \mapsto (f_1 (m_0, m_1), ..., f_n (m_0, m_n))\)
//
ここで、各プロダクトセット（集合）はプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つ。
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 証明1
全体戦略: ステップ1: \(f': M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1} \to M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_0 \times M_{n, 1}\)を取り、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ2: \(\widetilde{f}: M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_0 \times M_{n, 1} \to M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}\)を取り、\(\widetilde{f}\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ3: \(f = \widetilde{f} \circ f'\)であることを見、\(f\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る。
ステップ1:
注意として、これ以降に現われる各プロダクトセット（集合）はプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つ。
\(f': M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1} \to M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_0 \times M_{n, 1}, (m_0, m_1, ..., m_n) \mapsto (m_0, m_1, ..., m_0, m_n)\)を取ろう。
\(f'\)はメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を適用する。
\(M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_0 \times M_{n, 1}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は\(\{a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1} \vert a_{j, 0} \in A_0 \land a_{j, 1} \in A_{j, 1}\}\)によって生成されたものであるので、見る必要があるのは、\(f'^{-1} (a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1})\)が\(M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内にあることだけである。
\(f'^{-1} (a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1}) = a_{1, 0} \cap ... \cap a_{n, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 1}\)であることを見よう。
\(p = (p_0, p_1, ..., p_n) \in f'^{-1} (a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1})\)を任意のものとしよう。
\(f' (p) = (p_0, p_1, ..., p_0, p_n) \in a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1}\)。
したがって、\(p_0 \in a_{1, 0} \cap ... \cap a_{n, 0}\)、そして、各\(1 \le j\)に対して、\(p_j \in a_{j, 1}\)。
したがって、\(p \in a_{1, 0} \cap ... \cap a_{n, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 1}\)。
\(p = (p_0, p_1, ..., p_n) \in a_{1, 0} \cap ... \cap a_{n, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 1}\)を任意のものとしよう。
\(f' (p) = (p_0, p_1, ..., p_0, p_n) \in a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1}\)。
したがって、\(p \in f'^{-1} (a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1})\)。
したがって、\(f'^{-1} (a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1}) = a_{1, 0} \cap ... \cap a_{n, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 1}\)。
\(a_{1, 0} \cap ... \cap a_{n, 0} \in A_0\)。
\(M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は\(\{a_0 \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 1} \subseteq M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1} \vert a_0 \in A_0 \land a_{j, 1} \in A_{j, 1}\}\)によって生成されたものであるので、\(f'^{-1} (a_{1, 0} \times a_{1, 1} \times ... \times a_{n, 0} \times a_{n, 1})\)は当該\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内にある。
したがって、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
ステップ2:
\(\widetilde{f}: M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_0 \times M_{n, 1} \to M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}, (m_{1, 0}, m_1, ..., m_{n, 0}, m_n) \mapsto (f_1 (m_{1, 0}, m_1), ..., f_n (m_{n, 0}, m_n))\)を取ろう。
当該ドメイン（定義域）\(M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_0 \times M_{n, 1}\)は、\((M_0 \times M_{1, 1}) \times ... \times (M_0 \times M_{n, 1})\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を\(\sigma\)-algebras of \(M_0 \times M_{1, 1}, ..., M_0 \times M_{n, 1}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのプロダクトとしたものとみなすことができる、任意の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちの任意のファイナイト（有限）-プロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。
実のところ、\(\widetilde{f} = f_1 \times ... \times f_n\)。
\(\widetilde{f}\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちの任意のファイナイト（有限）-プロダクトマップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
ステップ3:
\(f = \widetilde{f} \times f'\)、なぜなら、各\(p = (p_0, p_1, ..., p_n) \in M_0 \times M_{1, 1} \times ... \times M_{n, 1}\)に対して、\(f (p) = (f_1 (p_0, p_1), ..., f_n (p_0, p_n))\)、その一方で、\(\widetilde{f} \times f' (p) = \widetilde{f} (p_0, p_1, ..., p_0, p_n) = (f_1 (p_0, p_1), ..., f_n (p_0, p_n))\)。
したがって、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
3: 注1
それが"疑似プロダクトマップ（写像）"と呼ばれているのは、それは本当にはプロダクトマップ（写像）ではないから、なぜなら、\(M_0\)は当該コンポーネントマップ（写像）たちに共有されている。
4: 構造化された記述2
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M_0, A_0)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\{(M_{1, 2}, A_{1, 2}), ..., (M_{n, 2}, A_{n, 2})\}\): \((M_{j, 2}, A_{j, 2}) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: M_0 \to M_{j, 2} \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(f\): \(: M_0 \to M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}, m_0 \mapsto (f_1 (m_0), ..., f_n (m_0))\)
//
ここで、各プロダクトセット（集合）はプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つ。
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
5: 証明2
全体戦略: ステップ1: \(\widetilde{f_j}: M_0 \times \{0\} \to M_{j, 2}\)を取り、\(\widetilde{f_j}\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ2: \(\widetilde{f}: M_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\} \to M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}\)を取り、\(\widetilde{f}\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ3: \(f': M_0 \to M_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\}\)を取り、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ4: \(f = \widetilde{f} \circ f'\)で\(f\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る。
ステップ1:
注意として、これ以降現われる各プロダクトセット（集合）はプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つ。
\(\{0\}\)を、不可避な\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つメジャラブルスペース（測定可能空間）としよう。
\(\widetilde{f_j}: M_0 \times \{0\} \to M_{j, 2}, (m_0, 0) \mapsto f_j (m_0)\)を取ろう。
\(\widetilde{f_j}\)はメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
\(a_{j, 2} \in A_{j, 2}\)を任意のものとしよう。
\({\widetilde{f_j}}^{-1} (a_{j, 2}) = {f_j}^{-1} (a_{j, 2}) \times \{0\}\)、なぜなら、各\(p = (p_0, 0) \in {\widetilde{f_j}}^{-1} (a_{j, 2})\)に対して、\(\widetilde{f_j} (p) = f_j (p_0) \in a_{j, 2}\)、したがって、\(p_0 \in {f_j}^{-1} (a_{j, 2})\)、したがって、\(p \in {f_j}^{-1} (a_{j, 2}) \times \{0\}\); 各\(p = (p_0, 0) \in {f_j}^{-1} (a_{j, 2}) \times \{0\}\)に対して、\(\widetilde{f_j} (p) = f_j (p_0) \in a_{j, 2}\)、したがって、\(p \in {\widetilde{f_j}}^{-1} (a_{j, 2})\)。
\({f_j}^{-1} (a_{j, 2}) \in A_0\)および\(\{0\}\)はメジャラブル（測定可能）であるから、\({f_j}^{-1} (a_{j, 2}) \times \{0\}\)は、当該プロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内でメジャラブル（測定可能）である。
ステップ2:
\(\widetilde{f}: M_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\} \to M_{1, 2} \times ... \times M_{n, 2}, (m_0, 0, ..., 0) \mapsto (f_1 (m_0), ..., f_n (m_0))\)を取ろう。
実のところ、\(\widetilde{f} (m_0, 0, ..., 0) = (\widetilde{f_1} (m_0, 0), ..., \widetilde{f_n} (m_0, 0))\)。
したがって、記述1によって、\(\widetilde{f}\)はメジャラブル（測定可能）である。
ステップ3:
\(f': M_0 \to M_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\}, m_0 \mapsto (m_0, 0, ..., 0)\)を取ろう。
\(f'\)はメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を適用する。
\(M_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\}\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は\(\{a_0 \times a_{1, 0} \times ... \times a_{n, 0} \subseteq M_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\} \vert a_0 \in A_0 \land a_{j, 0} \in \{\emptyset, \{0\}\}\}\)によって生成されたものであるので、見る必要があることは、\({f'}^{-1} (a_0 \times a_{1, 0} \times ... \times a_{n, 0}) \in A_0\)であることだけである。
ある\(j\)に対して\(a_{j, 0} = \emptyset\)である時、\(a_0 \times a_{1, 0} \times ... \times a_{n, 0} = \emptyset\)、そして、\({f'}^{-1} (\emptyset) = \emptyset \in A_0\)。
各\(j\)に対して\(a_{j, 0} = \{0\}\)である時、\({f'}^{-1} (a_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\}) = a_0 \in A_0\)、なぜなら、各\(p \in {f'}^{-1} (a_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\})\)に対して、\(f' (p) = (p, 0, ..., 0) \in a_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\}\)、したがって、\(p \in a_0\); 各\(p \in a_0\)に対して、\(f' (p) = (p, 0, ..., 0) \in a_0 \times \{0\} \times ... \times \{0\}\)。
したがって、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）である。
ステップ4:
\(f = \widetilde{f} \circ f'\)、なぜなら、各\(p \in M_0\)に対して、\(f (p) = (f_1 (p), ..., f_n (p))\)、その一方で、\(\widetilde{f} \circ f' (p) = \widetilde{f} (p, 0, ..., 0) = (f_1 (p), ..., f_n (p))\)。
したがって、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
