コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中へのリニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカル（正典）代表マトリックス（行列）がユニタリである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つ任意のコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(f\): \(: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(M\): \(= f \text{ のカノニカル（正典）代表マトリックス（行列） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(M \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: 注
本命題を、"任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）で任意のノルムを持つものからそれ自体の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、任意のベーシス（基底）に関する代表マトリックス（行列）がユニタリである場合、そしてその場合に限って"のように奔放に一般化しないこと、それは正しくない。
本命題が成立する理由は、コンプレックス（複素）ユークリディアンノルムおよびカノニカル（正典）ベーシス（基底）が使われていることである。
例えば、\(d = 2\)、\(\mathbb{C}^d\)は任意のベーシス（基底）\(B = \{b^1, b^2\}\)を持つ、\(f\)は\(B\)に関する代表マトリックス（行列）\(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\)を持つとしよう; \(B' = \{1 / 2 (b^1 + b^2), b^1 - b^2\}\)も\(\mathbb{C}^d\)に対するあるベーシス（基底）であり、\(\mathbb{C}^d\)に\(B'\)に関するノルム、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムであるという命題内に定義されたもの、を持たせよう。
すると、\(M\)はユニタリである、しかし、\(f\)はオーソゴーナル（直交）でない、なぜなら、\(f (b^1 + b^2) = b^1 - b^2\)、しかし、\(\Vert b^1 + b^2 \Vert = \Vert 2 1 / 2 (b^1 + b^2) + 0 (b^1 - b^2) \Vert = \vert 2 \vert + \vert 0 \vert = 2\)および\(\Vert b^1 - b^2 \Vert = \Vert 0 (1 / 2 (b^1 + b^2)) + 1 (b^1 - b^2) \Vert = \vert 0 \vert + \vert 1 \vert = 1\)、したがって、\(\Vert f (b^1 + b^2) \Vert \neq \Vert b^1 + b^2 \Vert\)。
他方で、もしも、あるオーソゴーナル（直交）\(f\)のあるベーシス（基底）に関する代表マトリックス（行列）がユニタリである場合、\(f\)の別のベーシス（基底）に関する代表マトリックス（行列）はユニタリでないかもしれない、モジュール（加群）で任意の同一ファイナイト（有限）カーディナリティ（濃度）の任意の\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つ任意のものおよび任意のモジュール（加群）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、当該ベーシス（基底）たちの変更に関する当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題およびあるユニタリマトリックス（行列）のあるインバーティブルマトリックス（可逆行列）によるコンジュゲート（共役）は必ずしもユニタリでないという命題によって。
3: Proof
Whole Strategy: apply the proposition that for any complex polynomial with any finite number of variables and their complex conjugates, if the polynomial is constantly \(0\), the coefficients are \(0\); Step 1: suppose that \(f\) is an orthogonal map; Step 2: see that \(M\) is a unitary matrix; Step 3: suppose that \(M\) is a unitary matrix; Step 4: see that \(f\) is an orthogonal map.
Step 1:
Let us suppose that \(f\) is an orthogonal map.
Step 2:
Let us see that \(M\) is a unitary matrix.
Let \(v \in \mathbb{C}^d\) be any.
\(\Vert f (v) \Vert^2 = (M v^t)^t \overline{M v^t}\), by the definition of complex Euclidean norm, \(= v M^t \overline{M} \overline{v^t} = \Vert v \Vert^2\), because \(f\) is orthogonal, but \(= v \overline{v^t} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v^j \overline{v^j} = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l \delta^l_j \overline{v^j}\).
Let \(N := M^t \overline{M}\).
\(v N \overline{v^t} = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l N^l_j \overline{v^j}\).
So, \(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l N^l_j \overline{v^j} = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l \delta^l_j \overline{v^j}\), and \(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} (v^l N^l_j \overline{v^j} - v^l \delta^l_j \overline{v^j}) = 0\), so, \(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} (N^l_j - \delta^l_j) v^l \overline{v^j} = 0\).
That holds constantly with respect to \((v^1, ..., v^d)\), so, by the proposition that for any complex polynomial with any finite number of variables and their complex conjugates, if the polynomial is constantly \(0\), the coefficients are \(0\), \(N^l_j - \delta^l_j = 0\), so, \(N^l_j = \delta^l_j\).
So, \(M^t \overline{M} = I\).
\(\overline{M^t \overline{M}} = \overline{I} = I\), but the left hand side is \(\overline{M^t} M\), so, \(M^* M = \overline{M^t} M = I\).
So, \(M\) is a unitary matrix.
Step 3:
Let us suppose that \(M\) is a unitary matrix.
Step 4:
Let \(v \in \mathbb{C}^d\) be any.
\(\Vert f (v) \Vert^2 = \Vert M v^t \Vert^2 = (M v^t)^t \overline{M v^t} = v M^t \overline{M} \overline{v^t} = v \overline{\overline{M^t} M} \overline{v^t} = v \overline{M^* M} \overline{v^t} = v \overline{I} \overline{v^t} = v I \overline{v^t} = v \overline{v^t} = \Vert v \Vert^2\).
So, \(f\) is an orthogonal map.
