コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中へのリニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つ任意のコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(f\): \(: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(M\): \(= f \text{ のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(M \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つ任意のコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題を適用する; ステップ1: \(f\)はオーソゴーナル（直交）マップ（写像）であると仮定する; ステップ2: \(M\)はユニタリマトリックス（行列）であることを見る; ステップ3: \(M\)はユニタリマトリックス（行列）であると仮定する; ステップ4: \(f\)はオーソゴーナル（直交）マップ（写像）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はオーソゴーナル（直交）マップ（写像）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(M\)はユニタリマトリックス（行列）であることを見よう。
\(v \in \mathbb{C}^d\)を任意のものとしよう。
\(\Vert f (v) \Vert^2 = (M v^t)^t \overline{M v^t}\)、コンプレックス（複素）ユークリディアンノルムの定義によって、\(= v M^t \overline{M} \overline{v^t} = \Vert v \Vert^2\)、なぜなら、\(f\)はオーソゴーナル（直交）である、しかし、\(= v \overline{v^t} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v^j \overline{v^j} = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l \delta^l_j \overline{v^j}\)。
\(N := M^t \overline{M}\)としよう。
\(v N \overline{v^t} = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l N^l_j \overline{v^j}\)。
したがって、\(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l N^l_j \overline{v^j} = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l \delta^l_j \overline{v^j}\)、そして、\(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} (v^l N^l_j \overline{v^j} - v^l \delta^l_j \overline{v^j}) = 0\)、したがって、\(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} (N^l_j - \delta^l_j) v^l \overline{v^j} = 0\)。
それは\((v^1, ..., v^d)\)に関してコンスタントに成立する、したがって、任意のファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つ任意のコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題によって、\(N^l_j - \delta^l_j = 0\)、したがって、\(N^l_j = \delta^l_j\)。
したがって、\(M^t \overline{M} = I\)。
\(\overline{M^t \overline{M}} = \overline{I} = I\)、しかし、左辺は、\(\overline{M^t} M\)、したがって、\(M^* M = \overline{M^t} M = I\)。
したがって、\(M\)はユニタリマトリックス（行列）である。
ステップ3:
\(M\)はユニタリマトリックス（行列）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(v \in \mathbb{C}^d\)を任意のものとしよう。
\(\Vert f (v) \Vert^2 = \Vert M v^t \Vert^2 = (M v^t)^t \overline{M v^t} = v M^t \overline{M} \overline{v^t} = v \overline{\overline{M^t} M} \overline{v^t} = v \overline{M^* M} \overline{v^t} = v \overline{I} \overline{v^t} = v I \overline{v^t} = v \overline{v^t} = \Vert v \Vert^2\)。
したがって、\(f\)はオーソゴーナル（直交）マップ（写像）である。
