ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体へのリニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）（ポリノミアル（多項式）次元数より多くの要素たちを持つ）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(f\): \(: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(B\): \(= \mathbb{R}^d \text{ に対するカノニカルベーシス（基底） }\), \(= \{b_1, ..., b_d\}\)
\(M\): \(= f \text{ の } B \text{ に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(M \in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のフィールド（体）（ポリノミアル（多項式）次元数より多くの要素たちを持つ）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題を適用する; ステップ1: \(f\)はオーソゴーナル（直交）マップ（写像）であると仮定する; ステップ2: \(M\)はオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）であることを見る; ステップ3: \(M\)はオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）であると仮定する; ステップ4: \(f\)はオーソゴーナル（直交）マップ（写像）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はオーソゴーナル（直交）マップ（写像）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(M\)はオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）であることを見よう。
\(v \in \mathbb{R}^d\)を任意のものとしよう。
\(\Vert f (v) \Vert^2 = (M v^t)^t M v^t\)、ユークリディアンノルムの定義によって、\(= v M^t M v^t = \Vert v \Vert^2\)、なぜなら、\(f\)はオーソゴーナル（直交）である、しかし、\(= v v^t = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v^j v^j = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l \delta^l_j v^j\)。
\(N := M^t M\)としよう。
\(v N v^t = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l N^l_j v^j\)。
したがって、\(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l N^l_j v^j = \sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} v^l \delta^l_j v^j\)、そして、\(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} (v^l N^l_j v^j - v^l \delta^l_j v^j) = 0\)、したがって、\(\sum_{l \in \{1, ..., d\}, j \in \{1, ..., d\}} (N^l_j - \delta^l_j) v^l v^j = 0\)。
それは\((v^1, ..., v^d)\)に関してコンスタントに成立する、したがって、任意のフィールド（体）（ポリノミアル（多項式）次元数より多くの要素たちを持つ）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題によって、\(N^l_j - \delta^l_j = 0\)、したがって、\(N^l_j = \delta^l_j\)。
したがって、\(M^t M = I\)。
したがって、\(M\)はオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）である。
ステップ3:
\(M\)はオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(v \in \mathbb{R}^d\)を任意のものとしよう。
\(\Vert f (v) \Vert^2 = \Vert M v^t \Vert^2 = (M v^t)^t M v^t = v M^t M v^t = v I v^t = v v^t = \Vert v \Vert^2\)。
したがって、\(f\)オーソゴーナル（直交）マップ（写像）である。
