ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルムを持つものおよび同一ノルムを持つ\(2\)個のベクトルたちに対して、オーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）でベクトルたちの1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）がオーソゴーナル（直交）であるものがあり、ディメンショナル（次元）が\(2\)以上の時は、デターミナント（行列式）は\(1\)にできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を認めている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルムを持つものおよび任意の同一ノルムを持つ\(2\)個の任意のベクトルたちに対して、あるオーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）で当該ベクトルたちの任意の1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）がオーソゴーナル（直交）であるものがあり、当該ディメンショナル（次元）が\(2\)以上の時は、当該マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は\(1\)にできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルムを持つもの }\)
\(\{v, v'\}\): \(\subseteq \mathbb{R}^d\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\Vert v \Vert = \Vert v' \Vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists M \in \{\text{ 全ての } d \times d \text{ オーソゴーナルマトリックス（直交行列）たち } \} (v'^t = M v^t)\)
\(\land\)
(
\(2 \le d\)
\(\implies\)
\(\exists M \in \{\text{ 全てのデターミナント（行列式） } 1 d \times d \text{ オーソゴーナルマトリックス（直交行列）たち } \} (v'^t = M v^t)\)
)
//
2: 注
任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンノルムを持つものおよび任意の同一ノルムを持つ\(2\)個の任意のベクトルたちに対して、あるオーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）で当該ベクトルたちの任意の1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリであるものがある、そして、当該ディメンショナル（次元）が\(2\)以上である時は、当該マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は\(1\)にできるという命題も成立する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\Vert v \Vert = \Vert v' \Vert = 0\)である時に対して、本命題を結論する; ステップ2: \(0 \lt \Vert v \Vert = \Vert v' \Vert\)であると仮定する; ステップ3: 任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち\((b_1 := v / \Vert v \Vert, b_2, ..., b_d)\)および\((b'_1 := v' / \Vert v' \Vert, b'_2, ..., b'_d)\)を取り、リニアマップ（線形写像）\(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, v = v^j b_j \mapsto v^j b'_j\)を定義する; ステップ4: \(f\)はオーソゴーナル（直交）でありカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）であることを見る; ステップ5: \(2 \le d\)であると仮定する; ステップ6: ベクトル\(v'' := (\Vert v \Vert, 0, ..., 0)\)および以下を満たすあるオーソゴーナルマトリックス（直交行列）\(N\)、つまり、\(v^t = N v''^t\)、を取り、\(N\)の最終列に\(det N\)を掛けて結果オーソゴーナルマトリックス（直交行列）\(\widetilde{N}\)を得て、以下を満たすあるオーソゴーナルマトリックス（直交行列）\(N'\)、つまり、\(v'^t = N' v''^t\)、を取り、\(N'\)の最終列に\(det N'\)を掛けて結果オーソゴーナルマトリックス（直交行列）\(\widetilde{N'}\)を得る: ステップ7: \(v'^t = \widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1} v^t\)であり\(M := \widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1}\)でよいことを見る。
ステップ1:
\(\Vert v \Vert = \Vert v' \Vert = 0\)であると仮定しよう。
それが意味するのは、\(v = v' = 0\)。
すると、任意のオーソゴーナルマトリックス（直交行列）、例えば、\(I\)、でよい: \(v'^t = I v^t\); \(I^* = I^{-1}\); \(det I = 1\)（\(d \lt 2\)である時も）。
ステップ2:
\(0 \lt \Vert v \Vert = \Vert v' \Vert\)であると仮定しよう。
ステップ3:
\(\mathbb{R}^d\)にユークリディアンインナープロダクト（内積）を持たせよう、それによって当該ユークリディアンノルムはインデュースト（誘導された）である。
\(\mathbb{R}^d\)に対する任意のオーソノーマルベーシス（正規直交基底）\((b_1 := v / \Vert v \Vert, b_2, ..., b_d)\)を取ろう、それは可能である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題およびベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義によって。
\(\mathbb{R}^d\)に対する任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\((b'_1 := v' / \Vert v' \Vert, b'_2, ..., b'_d)\)を取ろう、それは可能である、同様に。
マップ（写像）\(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, v = v^j b_j \mapsto v^j b'_j\)を定義しよう、それはリニア（線形）（実のところ、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像））である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって: \(f\)は\(b_j\)を\(b'_j\)へマップし当該ベーシス（基底）たち間マッピングをリニア（線形）に拡張している。
ステップ4:
\(f\)はオーソゴーナル（直交）である、なぜなら、各\(v = v^j b_j \in \mathbb{R}^d\)に対して、\(\Vert f (v) \Vert = \Vert f (v^j b_j) \Vert = \Vert v^j b'_j \Vert = \sqrt{\langle v^j b'_j, v^l b'_l \rangle} = \sqrt{v^j v^l \langle b'_j, b'_l \rangle} = \sqrt{v^j v^l \delta_{j, l}} = \sqrt{\langle v^j b_j, v^l b_l \rangle} = \Vert v^j b_j \Vert = \Vert v \Vert\)。
したがって、そのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）\(M\)はオーソゴーナル（直交）である、任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(b'_1 = f (b_1)\)であるから、\(v' / \Vert v' \Vert = f (v / \Vert v \Vert) = 1 / \Vert v \Vert f (v) = 1 / \Vert v' \Vert f (v)\)、それが意味するのは、\(v' = f (v)\)。
したがって、\(v'^t = M v^t\)。
ステップ5:
\(2 \le d\)であると仮定しよう。
ステップ6:
注意として、\(det N det N = 1\)である、なぜなら、\(N^t N = I\)であるから、\(det (N^t N) = det I = 1\)、しかし、\(det (N^t N) = det N^t det N = det N det N\)。
ベクトル\(v'' := (\Vert v \Vert, 0, ..., 0)\)を取ろう。
\(\Vert v'' \Vert = \Vert v \Vert\)、したがって、以下を満たすあるオーソゴーナルマトリックス（直交行列）\(N\)、つまり、\(v^t = N v''^t\)、がある、ステップ4によって。
\(N\)の最終列に\(det N\)を掛けて結果マトリックス（行列）\(\widetilde{N}\)を得る。
\(\widetilde{N}\)はオーソゴーナル（直交）である、なぜなら、\(N = \begin{pmatrix} N^1_1 & ... & N^1_d \\ ... \\ N^d_1 & ... & N^d_d \end{pmatrix}\)に対して、\(\widetilde{N} = \begin{pmatrix} N^1_1 & ... & N^1_{d - 1} & det N N^1_d \\ ... \\ N^d_1 & ... & N^d_{d - 1} & det N N^d_d \end{pmatrix}\)、そして、\(\widetilde{N}^t \widetilde{N} = \begin{pmatrix} N^1_1 & ... & N^d_1 \\ ... \\ N^1_{d - 1} & ... & N^d_{d - 1} \\ det N N^1_d & ... & det N N^d_d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N^1_1 & ... & N^1_{d - 1} & det N N^1_d \\ ... \\ N^d_1 & ... & N^d_{d - 1} & det N N^d_d \end{pmatrix}\)、その\((j, l)\)コンポーネントは、\(j, l \lt d\)に対して、\(\sum_{m \in \{1, ..., d\}} N^m_j N^m_l\); \(j = d\)かつ\(l \lt d\)に対して、\(\sum_{m \in \{1, ..., d\}} det N N^m_j N^m_l\); \(j \lt d\)かつ\(l = d\)に対して、\(\sum_{m \in \{1, ..., d\}} N^m_j det N N^m_l\); \(j = l = d\)に対して、\(\sum_{m \in \{1, ..., d\}} det N N^m_j det N N^m_l = \sum_{m \in \{1, ..., d\}} N^m_j N^m_l\)、しかし、\(det N\)は、\(j \neq l\)である時のみに現われ、その時、\(\sum_{m \in \{1, ..., d\}} N^m_j N^m_l = 0\)、したがって、当該コンポーネントは\(0\)である、そして、\(j = l\)である時は、\(\sum_{m \in \{1, ..., d\}} N^m_j N^m_l = 1\)、したがって、当該コンポーネントは\(1\)である。
\(det \widetilde{N} = det N det N\)、マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）のあるプロパティによって、\(= 1\)。
\(v^t = \widetilde{N} v''^t\)、なぜなら、\(v'' = (\Vert v \Vert, 0, ..., 0)\)であるから、\(\widetilde{N}\)の最終列は結果に全く影響しない（それが真であるのは、\(2 \le d\)であり、したがって、最終列は第1列でないからである）。
\(\Vert v'' \Vert = \Vert v' \Vert\)、したがって、以下を満たすあるオーソゴーナルマトリックス（直交行列）\(N'\)、つまり、\(v'^t = N' v''^t\)、がある、ステップ4によって。
\(N'\)の最終列に\(det N'\)を掛けて結果マトリックス（行列）\(\widetilde{N'}\)を得よう。
\(\widetilde{N'}\)はオーソゴーナル（直交）である、前と同様。
\(det \widetilde{N'} = 1\)、前と同様。
\(v'^t = \widetilde{N'} v''^t\)、前と同様。
ステップ7:
したがって、\(v'^t = \widetilde{N'} v''^t = \widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1} v^t\)。
\(M := \widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1}\)としよう。
\(M\)はオーソゴーナル（直交）である、なぜなら、\(M^t M = (\widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1})^t \widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1} = ({\widetilde{N}}^{-1})^t \widetilde{N'}^t \widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1} = ({\widetilde{N}}^{-1})^t I {\widetilde{N}}^{-1} = ({\widetilde{N}}^{-1})^t {\widetilde{N}}^{-1} = ({\widetilde{N}}^t)^t {\widetilde{N}}^t = \widetilde{N} {\widetilde{N}}^t = I\)。
\(det M = det (\widetilde{N'} {\widetilde{N}}^{-1}) = det \widetilde{N'} det {\widetilde{N}}^{-1} = 1\)。
したがって、\(M\)は本命題に対するコンディションたちを満たしている。
