ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルムを持つものおよび同一ノルムを持つ\(2\)個のベクトルたちに対して、オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）でベクトルたちの1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）がオーソゴーナル（直交）であるものがあり、ディメンショナル（次元）が\(2\)以上の時は、デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を認めている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つものおよび任意の\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該サブセット（部分集合）たちの内の任意の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）であるものがある、そして、当該カーディナリティ（濃度）が当該ディメンション（次元）より小さい時、当該デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルムを持つものおよび任意の同一ノルムを持つ\(2\)個の任意のベクトルたちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該ベクトルたちの任意の1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）がオーソゴーナル（直交）であるものがあり、当該ディメンショナル（次元）が\(2\)以上の時は、当該マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの }\)
\(\{v, v'\}\): \(\subseteq \mathbb{R}^d\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\Vert v \Vert = \Vert v' \Vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, \in \{\text{ 全てのオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）たち }\} ((f (v) = v') \land M, f \text{ の } \mathbb{R}^d \text{ のカノニカル（正典）ベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }, \in \{\text{ 全てのオーソゴーナルマトリックス（直交行列）たち }\})\)
\(\land\)
(
\(1 \lt d\)
\(\implies\)
\(\forall r \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \vert r \vert = 1 (f \text{ は以下を満たすように選べる、つまり、 } det M = r)\)
)
//
2: 注
任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンノルムを持つものおよび任意の同一ノルムを持つ\(2\)個の任意のベクトルたちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該ベクトルたちの任意の1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリであるものがある、そして、当該ディメンショナル（次元）が\(2\)以上である時は、当該マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできるという命題も成立する。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: conclude the proposition for when \(\Vert v \Vert = \Vert v' \Vert = 0\); Step 2: take \(B := \{b^1 = \Vert v \Vert^{- 1} v\}\) and \(B' := \{b'^1 = \Vert v' \Vert^{- 1} v'\}\), and apply the proposition that for any Euclidean vectors space with the Euclidean inner product and any \(2\) same-cardinality orthonormal subsets, there is an orthogonal linear map that maps any one of the subsets to the other whose canonical representative matrix is orthogonal, and when the cardinality is smaller than the dimension, the determinant can be made any with absolute value \(1\); Step 3: see that \(f (v) = v'\); Step 4: conclude the proposition.
Step 1:
Let us suppose that \(\Vert v \Vert = \Vert v' \Vert = 0\).
That means that \(v = v' = 0\).
Let \(\{e^1, ..., e^d\}\) be the canonical basis of \(\mathbb{R}^d\).
Let us take \(\{e'^1 := e^1, ..., e'^{d - 1} := e^{d - 1}, e'^d := r e^d\}\), which is a basis of \(\mathbb{R}^d\), obviously.
\(\{e'^1, ..., e'^d\}\) is an orthonormal basis of \(\mathbb{R}^d\), because for each \(j \in \{1, ..., d - 1\}\), \(\langle e'^j, e'^d \rangle = \langle e'^j, r e^d \rangle = r \langle e'^j, e^d \rangle = r 0 = 0\), and \(\langle e'^d, e'^d \rangle = \langle r e^d, r e^d \rangle = r r \langle e^d, e^d \rangle = r^2 1 = 1 1 = 1\).
Let us define the map, \(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, v = v_j e^j \mapsto v_j e'^j\), which is linear (in fact, a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism), by the proposition that between any vectors spaces, any map that maps any basis onto any basis bijectively and expands the mapping linearly is a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism: \(f\) maps \(\{e^1, ..., e^d\}\) to \(\{e'^1, ..., e'^d\}\) and is expanding the mapping between the bases linearly.
\(f (v) = f (0) = 0 = v'\).
\(f\) is orthogonal, because for each \(v = v_j e^j \in \mathbb{R}^d\), \(\Vert f (v) \Vert = \Vert f (v_j e^j) \Vert = \Vert v_j e'^j \Vert = \sqrt{\langle v_j e'^j, v_l e'^l \rangle} = \sqrt{v_j v_l \langle e'^j, e'^l \rangle} = \sqrt{v_j v_l \delta^{j, l}} = \sqrt{v_j v_l \langle e^j, e^l \rangle} = \sqrt{\langle v_j e^j, v_l e^l \rangle} = \Vert v_j e^j \Vert = \Vert v \Vert\).
So, its canonical representative matrix, \(M\), is orthogonal, by the proposition that for any linear map from any Euclidean-normed Euclidean vectors space into itself, the map is orthogonal if and only if the canonical representative matrix is orthogonal.
In fact, \(M\) is the identity except the last diagonal component \(r\).
So, \(det M = r\).
So, \(f\) is an orthogonal linear map which maps \(v\) to \(v'\) whose (the map's) representative matrix with respect to the canonical basis of \(\mathbb{R}^d\), \(M\), is orthogonal, and when \(1 \lt d\) and even when \(1 = d\), \(f\) can be chosen such that \(det M = r\).
Let us suppose otherwise, hereafter.
Step 2:
Let us take \(B := \{b^1 = \Vert v \Vert^{- 1} v\}\) and \(B' := \{b'^1 = \Vert v' \Vert^{- 1} v'\}\), which are some orthonormal subsets of \(\mathbb{R}^d\).
By the proposition that for any Euclidean vectors space with the Euclidean inner product and any \(2\) same-cardinality orthonormal subsets, there is an orthogonal linear map that maps any one of the subsets to the other whose canonical representative matrix is orthogonal, and when the cardinality is smaller than the dimension, the determinant can be made \(1\), there is an orthogonal linear \(f\) with the representative matrix, \(M\), orthogonal such that \(f (b^1) = b'^1\); when \(1 \lt d\), \(M\) can be made determinant \(r\).
Step 3:
\(f (v) = f (\Vert v \Vert b^1) = \Vert v \Vert f (b^1)\), because \(f\) is linear, \(= \Vert v \Vert b'^1 = \Vert v' \Vert b'^1 = v'\).
Step 4:
So, \(f\) is an orthogonal linear map which maps \(v\) to \(v'\) whose (the map's) representative matrix with respect to the canonical basis of \(\mathbb{R}^d\), \(M\), is orthogonal, and when \(1 \lt d\), \(f\) can be chosen such that \(det M = r\).
