\(1\)以上のリアルナンバー（実数）または\(\infty\)である\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、\(\mathcal{L}^p\)の要素、\(\mathcal{L}^q\)の要素に対して、\(2\)要素たちの絶対値たち積のルベーグインテグラル（積分）は、セミノルムたちの積以下である（ヘルダーの不等式）ことの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、エクスポーネント（指数）のエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）の定義を知っている。
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の定義を知っている。
- 読者は、\(1\)より大きい任意のリアルナンバー（実数）\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意の非負リアルナンバー（実数）たち\(r_1\)および\(r_2\)に対して、\(r_1 r_2\)は\({r_1}^p / p\)プラス\({r_2}^q / q\)に等しいかそれより小さいという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)以上の任意のリアルナンバー（実数）または\(\infty\)である\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意のメジャースペース（測度空間）、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の任意の要素、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^q\)の任意の要素に対して、当該\(2\)要素たちの絶対値たち積のルベーグインテグラル（積分）は、当該要素たちのセミノルムたちの積以下である（ヘルダーの不等式）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(F\): \(\in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\)
\(p\): \(\in \mathbb{R} \cup \{- \infty, \infty\}\)で、\(1 \le p\)を満たすもの
\(q\): \(= p \text{ のエクスポーネントコンジュゲート（指数共役） }\)、\(\in \mathbb{R} \cup \{- \infty, \infty\}\)
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\):
\(\mathcal{L}^q (M, A, \mu, F)\):
\(f_1\): \(\in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)
\(f_2\): \(\in \mathcal{L}^q (M, A, \mu, F)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\int \vert f_1 f_2 \vert d \mu \le \Vert f_1 \Vert_p \Vert f_2 \Vert_q\)
//
特に、\(f_1 f_2 \in \mathcal{L}^1 (M, A, \mu, F)\)。
2: 注
実のところ、本命題は、\(\Vert \bullet \Vert_p\)は本当に\(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)に対するセミノルムであることを証明するために使われる、それは、何の問題でもない、なぜなら、"証明"は、\(\Vert \bullet \Vert_p\)がセミノルムであること（特に、三角不等式を満たすこと）に依存しておらず、\(\Vert \bullet \Vert_p\)の定義に依存しているだけである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(1 \lt p \lt \infty\)であると仮定する; ステップ2: 本命題を結論する、\(1\)より大きい任意のリアルナンバー（実数）\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意の非負リアルナンバー（実数）たち\(r_1\)および\(r_2\)に対して、\(r_1 r_2\)は\({r_1}^p / p\)プラス\({r_2}^q / q\)に等しいかそれより小さいという命題を使って; ステップ3: \(p = 1\)であると仮定する; ステップ4: 本命題を結論する、\(\vert f_1 f_2 \vert \le \vert f_1 \vert \Vert f_2 \Vert_{\infty}\)がほとんどいたる所成立することを見ることによって; ステップ5: \(p = \infty\)であると仮定する; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(1 \lt p \lt \infty\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(\Vert f_1 \Vert_p = 0\)であると仮定しよう。
\(\vert f_1 \vert =_{a.e} 0\)、よく知られているとおり。
したがって、\(\vert f_1 f_2 \vert =_{a.e} 0\)。
したがって、\(\int \vert f_1 (m) f_2 (m) \vert d \mu = 0\)。
したがって、\(\int \vert f_1 f_2 \vert d \mu = 0 \le \Vert f_1 \Vert_p \Vert f_2 \Vert_q\)。
\(\Vert f_2 \Vert_q = 0\)の時も同様である。
\(\Vert f_1 \Vert_p \neq 0\)および\(\Vert f_2 \Vert_q \neq 0\)であると仮定しよう。
\(f'_1 := 1 / \Vert f_1 \Vert_p f_1\)および\(f'_2 := 1 / \Vert f_2 \Vert_q f_2\)としよう。
\(\Vert f'_1 \Vert_p = \Vert 1 / \Vert f_1 \Vert_p f_1 \Vert_p = 1 / \Vert f_1 \Vert_p \Vert f_1 \Vert_p = 1\); 同様に、\(\Vert f'_2 \Vert_q = 1\)。
各\(m \in M\)に対して、\(\vert f'_1 (m) f'_2 (m) \vert \le 1 / p \vert f'_1 (m) \vert^p + 1 / q \vert f'_2 (m) \vert^q\)、\(1\)より大きい任意のリアルナンバー（実数）\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意の非負リアルナンバー（実数）たち\(r_1\)および\(r_2\)に対して、\(r_1 r_2\)は\({r_1}^p / p\)プラス\({r_2}^q / q\)に等しいかそれより小さいという命題によって。
したがって、\(\int \vert f'_1 (m) f'_2 (m) \vert d \mu \le \int (1 / p \vert f'_1 (m) \vert^p + 1 / q \vert f'_2 (m) \vert^q) d \mu = 1 / p \int \vert f'_1 (m) \vert^p d \mu + 1 / q \int \vert f'_2 (m) \vert^q d \mu = r {\Vert f'_1 \Vert_p}^p + 1 / q {\Vert f'_2 \Vert_q}^q = 1 / p + 1 / q = 1\)。
したがって、\(\int \vert f'_1 (m) f'_2 (m) \vert d \mu = \int \vert 1 / \Vert f_1 \Vert_p f_1 1 / \Vert f_2 \Vert_q f_2 \vert d \mu = 1 / \Vert f_1 \Vert_p 1 / \Vert f_2 \Vert_q \int \vert f_1 f_2 \vert d \mu \le 1\)。
したがって、\(\int \vert f_1 f_2 \vert d \mu \le \Vert f_1 \Vert_p \Vert f_2 \Vert_q\)。
ステップ3:
\(p = 1\)であると仮定しよう。
\(q = \infty\)。
ステップ4:
\(S := \{m \in M \vert f_1 (m) \neq 0\}\)のことを考えよう。
\(S_0 = \{m \in M \vert 1 \le \vert f_1 (m) \vert\}\)および各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(S_j = \{m \in M \vert 1 / (j + 1) \le \vert f_1 (m) \vert \lt 1 / j\}\)としよう。
\(S = \cup_{j \in \mathbb{N}} S_j\)、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、\(1 \le \vert f_1 (s) \vert\)または\(1 / (j + 1) \le \vert f_1 (s) \vert \lt 1 / j\)、したがって、\(s \in S_j\)、ある\(j \in \mathbb{N}\)に対して; 他方で、各\(s \in \cup_{j \in \mathbb{N}} S_j\)に対して、\(s \in S_j\)、ある\(j \in \mathbb{N}\)に対して、そして、\(\vert f_1 (s) \vert \neq 0\)、したがって、\(s \in S\)。
\(0 \le 1 / (j + 1) \chi_{S_j} \le \vert f_1 \vert \chi_{S_j} \le \vert f_1 \vert\)。
したがって、\(\int 1 / (j + 1) \chi_{S_j} d \mu \le \int \vert f_1 \vert d \mu\)。
しかし、左辺は、\(1 / (j + 1) \mu (S_j)\)である、ところで、右辺は、ファイナイト（有限）である。
したがって、\(\mu (S_j) = (j + 1) \int \vert f_1 \vert d \mu\)、ファイナイト（有限）。
\(S' := \{m \in M \vert \Vert f_2 \Vert_{\infty} \lt \vert f_2 \vert\}\)としよう、それは、ローカルにネグリジブル（無視可能）である。
\(S \cap S' = (\cup_{j \in \mathbb{N}} S_j) \cap S' = \cup_{j \in \mathbb{N}} (S_j \cap S')\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、しかし、\(\mu (S_j) \lt \infty\)であるから、\(S_j \cap S'\)はネグリジブル（無視可能）である、したがって、以下を満たすある\(N_j \in A\)、つまり、\(S_j \cap S' \subseteq N_j\)および\(\mu (N_j) = 0\)、がある、したがって、\(S \cap S' \subseteq \cup_{j \in \mathbb{N}} N_j\)、そして、\(\mu (\cup_{j \in \mathbb{N}} N_j) \le \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu (N_j) = 0\)、それが意味するのは、\(S \cap S'\)はネグリジブル（無視可能）であること。
したがって、\(\vert f_1 (m) f_2 (m) \vert \le_{a.e} \vert f_1 (m) \vert \Vert f_2 \Vert_{\infty}\)。
したがって、\(\int \vert f_1 f_2 \vert d \mu \le \int \vert f_1 \vert \Vert f_2 \Vert_{\infty} d \mu = \Vert f_2 \Vert_{\infty} \int \vert f_1 \vert d \mu = \Vert f_1 \Vert_1 \Vert f_2 \Vert_{\infty}\)。
ステップ5:
\(p = \infty\)と仮定しよう。
すると、\(q = 1\)。
ステップ6:
本命題は\(p\)および\(q\)に関して対称であるから、ステップ4によって、本命題は成立する。
