トポロジカルスペース（空間）からユークリディアントポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）およびドメイン（定義域）のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）に対して、もしも、サブスペース（部分空間）のイメージ（像）のコンポーネントプロジェクション（射影）がカウンタブル（可算）である場合、コンポーネントプロジェクション（射影）はシングルポイントであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）でその任意のコンポーネントの中へのプロジェクション（射影）が非シングルカウンタブル（可算）であるものはコネクテッド（連結された）ではないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）に対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）のイメージ（像）の任意のコンポーネントプロジェクション（射影）がカウンタブル（可算）である場合、当該コンポーネントプロジェクション（射影）はシングルポイントであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(T_2\): \(\in \{ \mathbb{R}^d \text{ のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち } \}\)
\(f'\): \(: T'_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(\pi_j\): \(: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, (x^1, ..., x^d) \mapsto (x^j)\)
\(T_1\): \(\in \{ T'_1 \text{ の全てのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たち }\}\)で、\(T_1 \neq \emptyset\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\pi_j \circ f' (T_1) \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）セット（集合）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\vert \pi_j \circ f' (T_1) \vert = 1\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f' (T_1)\)は、\(T_2\)上および\(\mathbb{R}^d\)上でコネクテッド（連結された）であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f' (T_1)\)はコネクテッド（連結された）である、\(T_2\)のサブスペース（部分空間）として、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコネクテッド（連結された）であるという命題によって。
\(f' (T_1)\)はコネクテッド（連結された）である、\(\mathbb{R}^d\)のサブスペース（部分空間）として、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。
ステップ2:
\(\pi_j (f' (T_1))\)はカウンタブル（可算）である、当該仮定によって。
\(0 \lt \vert \pi_j (f' (T_1)) \vert\)、なぜなら、\(T_1 \neq \emptyset\)。
\(1 \lt \vert \pi_j (f' (T_1)) \vert\)であると仮定しよう。
\(f' (T_1)\)はコネクテッド（連結された）でないことになる、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）でその任意のコンポーネントの中へのプロジェクション（射影）が非シングルカウンタブル（可算）であるものはコネクテッド（連結された）ではないという命題によって。
したがって、\(\vert \pi_j (f' (T_1)) \vert \le 1\)。
したがって、\(\vert \pi_j (f' (T_1)) \vert = 1\)。
