\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、オープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、とオープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、のインターセクション（共通集合）は、オープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）であるものはオープン（開）であり、当該イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、はエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）はサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの任意のオープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、と当該オープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、のインターセクション（共通集合）は、当該オープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(U'\): \(\in \{M' \text{ のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M \cap U'\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(M \cap U' \in \{M \text{ の全てのオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\land\)
\(M \cap U' \in \{U' \text{ の全てのイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M \cap U'\)は\(M\)のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることを見る; ステップ2: \(M \cap U'\)は\(U'\)のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、であることを見る。
ステップ1:
\(M \cap U'\)は\(M\)のオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）であるものはオープン（開）であり、当該イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、はエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）はサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(M \cap U'\)は、\(M\)のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるとみなすことができる。
ステップ2:
インクルージョン（封入）\(\iota: M \to M'\)のことを考えよう、それは、\(C^\infty\)イマージョンである、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
そのリストリクション（制限）\(\iota \vert_{M \cap U'}: M \cap U' \to U'\)のことを考えよう、そのドメイン（定義域）は\(M\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、そのコドメイン（余域）は\(M'\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(\iota \vert_{M \cap U'}\)は\(C^\infty\)イマージョンである、なぜなら、\(\iota\)はそうである、それが含意するのは、\(\iota\)はローカルにそうであること。
\(\iota \vert_{M \cap U'}\)は\(M \cap U'\)の\(U'\)中へのインクルージョン（封入）であるから、\(M \cap U'\)は\(U'\)のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、である。
