ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよび\(0\)のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ネイバーフッド（近傍）に非ゼロ数を掛けたものは\(0\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよび\(0\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該ネイバーフッド（近傍）に任意の非ゼロ数を掛けたものは\(0\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(U_0\): \(\subseteq V\), \(\in \{0 \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
\(r\): \(\in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
\(r U_0\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(r U_0 \in \{0 \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)に対する任意のベーシス（基底）および対応するホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: V \to \mathbb{R}^d\)を取る; ステップ2: \(0 \in r U_0\)であることを見る; ステップ3: 各\(p \in r U_0\)に対して、\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(r U_0\)内に包含されているものがあることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(B\)を取る。
対応するホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: V \to \mathbb{R}^d\)、それによって、\(V\)のトポロジーが定義されている、を取ろう。
当該トポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しない、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネート（座標）たちスペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーは、ベーシス（基底）の選択に依存しないという命題によって。
ステップ2:
\(0 \in r U_0\)、なぜなら、\(0 \in U_0\)および\(0 = r 0\)。
ステップ3:
\(p \in r U_0\)を任意のものとしよう。
\(p / r \in U_0\)、なぜなら、\(p = r u\)、ある\(u \in U_0\)に対して、そして、\(p / r = u \in U_0\)。
\(U_0\)は\(0\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、\(f (U_0)\)は\(0\)のオープンネイバーフッド（開近傍）で\(f (p / r) \in f (U_0)\)である。
\(f (p / r)\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{f (p / r), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(B_{f (p / r), \epsilon} \subseteq f (U_0)\)、がある、ユークリディアントポロジーの定義によって。
\(f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon}) \subseteq U_0\)。
\(f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon}) \subseteq V\)は\(V\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(p / r \in f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon})\)、なぜなら、\(f (p / r) \in B_{f (p / r), \epsilon}\)。
したがって、\(f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon})\)は\(p / r\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(r f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon}) \subseteq r U_0\)。
\(p = r p / r \in r f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon})\)。
\(f (r f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon})) = r f (f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon}))\)、なぜなら、\(f\)は明らかにリニア（線形）である、\(= r B_{f (p / r), \epsilon}\)。
しかし、\(r B_{f (p / r), \epsilon} = B_{r f (p / r), \vert r \vert \epsilon}\)、なぜなら、各\(p' \in r B_{f (p / r), \epsilon}\)に対して、\(p' / r \in B_{f (p / r), \epsilon}\)、それが意味するのは、\((p'^1 / r - f^1 (p / r))^2 + ... + (p'^d / r - f^d (p / r))^2 \lt \epsilon^2\)、したがって、\(r^2 (p'^1 / r - f^1 (p / r))^2 + ... + r^2 (p'^d / r - f^d (p / r))^2 \lt r^2 \epsilon^2\)、しかし、左辺は\((p'^1 - r f^1 (p / r))^2 + ... + (p'^d - r f^d (p / r))^2\)である、それが意味するのは、\(p' \in B_{r f (p / r), \vert r \vert \epsilon}\); 各\(p' \in B_{r f (p / r), \vert r \vert \epsilon}\)に対して、\((p'^1 - r f^1 (p / r))^2 + ... + (p'^d - r f^d (p / r))^2 \lt r^2 \epsilon^2\)、したがって、\(1 / r^2 (p'^1 - r f^1 (p / r))^2 + ... + 1 / r^2 (p'^d - r f^d (p / r))^2 \lt \epsilon^2\)、しかし、左辺は、\((p'^1 / r - f^1 (p / r))^2 + ... + (p'^d / r - f^d (p / r))^2\)、それが意味するのは、\(p' / r \in B_{f (p / r), \epsilon}\)、したがって、\(p' \in r B_{f (p / r), \epsilon}\)。
したがって、\(f (r f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon})) = B_{r f (p / r), \vert r \vert \epsilon}\)、そして、\(r f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon}) = f^{-1} (f (r f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon}))) = f^{-1} (B_{r f (p / r), \vert r \vert \epsilon})\)。
したがって、\(r f^{-1} (B_{f (p / r), \epsilon})\)は、\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）で\(r U_0\)内に包含されている。
ステップ4:
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(r U_0\)はオープン（開）である。
したがって、\(r U_0\)は\(0\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
