ベクトルたちスペース（空間）の\((0, 2)\)-テンソルに対して、ベクトルたちスペース（空間）からコベクトルたちスペース（空間）の中へのリニアマップ（線形写像）がインデュースト（誘導された）であり、ベクトルたちスペース（空間）がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である時、インデュースト（誘導された）マップ（写像）のベーシス（基底）およびデュアルベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）の\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）の任意の\((0, 2)\)-テンソルに対して、当該ベクトルたちスペース（空間）からコベクトルたちスペース（空間）の中へのあるリニアマップ（線形写像）がインデュースト（誘導された）であり、当該ベクトルたちスペース（空間）がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である時、当該インデュースト（誘導された）マップ（写像）の、任意のベーシス（基底）およびデュアルベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）、はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(T^0_2 (V)\):
\(t\): \(\in T^0_2 (V)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\widehat{t}: V \to V^*, v \mapsto i_v (t) \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(\land\)
(
\(V \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\forall B = (b_1, ..., b_d) \in \{V \text{ に対するベーシス（基底）たち }\} (M^j_l = t (b_l, b_j))\)、ここで、\(B^*\)は\(V^*\)に対する\(B\)のデュアルベーシス（基底）であり\(M\)は\(\widehat{t}\)の\(B\)および\(B^*\)に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）である
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\widehat{t}\)は妥当であることを見る; ステップ2: \(\widehat{t}\)は\(F\)-リニア（線形）であることを見る; ステップ3: \(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であると仮定する; ステップ4: 各\(B\)に対して、\(B^*\)および\(M\)を取り、\(M^j_l = t (b_l, b_j)\)であることを見る。
ステップ1:
\(\widehat{t}\)は妥当であることを見よう、それは、\(\widehat{t} (v) \in V^*\)という問題である。
各\(w \in V\)に対して、\(\widehat{t} (v) (w) = i_v (t) (w) = t (v, w) \in F\)。
各\(w, w' \in V\)および各\(r, r' \in F\)に対して、\(\widehat{t} (v) (r w + r' w') = t (v, r w + r' w') = r t (v, w) + r' t (v, w') = r \widehat{t} (v) (w) + r' \widehat{t} (v) (w')\)、それが意味するのは、\(\widehat{t} (v)\)は\(F\)-マルチリニアマップ（多重線形写像）である。
したがって、\(\widehat{t} (v) \in V^*\)。
ステップ2:
\(\widehat{t}\)は\(F\)-リニア（線形）であることを見よう。
各\(v, v' \in V\)および各\(r, r' \in F\)に対して、各\(w \in V\)に対して、\(\widehat{t} (r v + r' v') (w) = t (r v + r' v', w) = r t (v, w) + r' t (v', w) = r \widehat{t} (v) (w) + r' \widehat{t} (v') (w) = (r \widehat{t} (v) + r' \widehat{t} (v')) (w)\)。
それが含意するのは、\(\widehat{t} (r v + r' v') = r \widehat{t} (v) + r' \widehat{t} (v')\)。
したがって、\(\widehat{t}\)は\(F\)-リニア（線形）である。
ステップ3:
\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である。
ステップ4:
\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を、\(V\)に対する任意のベーシス（基底）としよう。
\(B^* = \{b^1, ..., b^d\}\)を、\(V^*\)に対する\(B\)のデュアルベーシス（基底）としよう: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を参照のこと。
\(M\)を、\(\widehat{t}\)の、\(B\)および\(B^*\)に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）で、\(V\)から\(B\)に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f_1: V \to F^d\)および\(V^*\)から\(B^*\)に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f_2: V^* \to F^d\)を持つもの、としよう: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を参照のこと。
\(\widehat{t} = {f_2}^{-1} \circ M \circ f_1\)。
\(f_1 (b_l) = \begin{pmatrix} 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0 \end{pmatrix}\)、ここで、\(1\)は\(l\)-番目コンポーネントである。
\(M \circ f_1 (b_l) = \begin{pmatrix} M^1_l \\ ... \\ M^d_l \end{pmatrix}\)。
\({f_2}^{-1} \circ M \circ f_1 (b_l) = M^1_l b^1 + ... + M^d_l b^d\)。
したがって、\(\widehat{t} (b_l) = M^1_l b^1 + ... + M^d_l b^d\)。
したがって、\(\widehat{t} (b_l) (b_j) = (M^1_l b^1 + ... + M^d_l b^d) (b_j) = M^j_l\)。
しかし、左辺は、\(t (b_l, b_j)\)である。
したがって、\(M^j_l = t (b_l, b_j)\)。
