グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））およびコンパクトサブセット（部分集合）でオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でコンパクトサブセット（部分集合）にネイバーフッド（近傍）を左からネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものがオープンサブセット（開集合）内に包含されているものがあることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のオープンサブセット（開部分集合）に任意のサブセット（部分集合）を左または右から掛けたものはオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））および任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該コンパクトサブセット（部分集合）に当該ネイバーフッド（近傍）を左から当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該オープンサブセット（開集合）内に包含されているものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つものたち }\}\)
\(K\): \(\in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{G \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)で、\(K \subseteq U\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists N_1 \subseteq G \in \{1 \text{ の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たち }\} (N_1 K {N_1}^{-1} \subseteq U)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(k \in K\)に対して、\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N'_{1, k}\)、つまり、\(N'_{1, k} k {N'_{1, k}}^{-1} \subseteq U\)、を取り、\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_{1, k}\)、つまり、\(N_{1, k}^2 \subseteq N'_{1, k}\)、を取る; ステップ2: \(N_{1, k} k {N_{1, k}}^{-1}\)は\(k\)のネイバーフッド（近傍）であることを見る; ステップ3: \(K\)のあるファイナイト（有限）カバー\(\{N_{1, k_j} k_j {N_{1, k_j}}^{-1} \vert j \in \{1, ..., n\}\}\)を取る; ステップ4: \(N_1 := N_{1, k_1} \cap ... \cap N_{1, k_n}\)を取り、\(N_1\)は\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）であり、\(N_1 K {N_1}^{-1} \subseteq U\)であることを見る。
ステップ1:
\(k \in K\)を任意のものとしよう。
\(U\)は\(k\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N'_{1, k} \subseteq G\)、つまり、\(N'_{1, k} k {N'_{1, k}}^{-1} \subseteq U\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題によって。
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_{1, k} \subseteq G\)、つまり、\(N_{1, k}^2 \subseteq N'_{1, k}\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
注意として、不可避に、\(N_{1, k} \subseteq N'_{1, k}\)、なぜなら、もしも、ある\(g \in N_{1, k} \setminus N'_{1, k}\)があったら、\(g = 1 g \in {N_{1, k}}^2\)、\(N_{1, k}^2 \subseteq N'_{1, k}\)に反する矛盾。
ステップ2:
\(N_{1, k} k {N_{1, k}}^{-1}\)は\(k\)のネイバーフッド（近傍）であることを見よう。
\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{1, k}\)、つまり、\(1 \in U_{1, k} \subseteq N_{1, k}\)、がある。
\(k = 1 k 1 \in U_{1, k} k {N_{1, k}}^{-1} \subseteq N_{1, k} k {N_{1, k}}^{-1}\)、しかし、\(U_{1, k} k {N_{1, k}}^{-1} = U_{1, k} (k {N_{1, k}}^{-1})\)はオープンサブセット（開部分集合）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のオープンサブセット（開部分集合）に任意のサブセット（部分集合）を左または右から掛けたものはオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって、それが意味するのは、\(N_{1, k} k {N_{1, k}}^{-1}\)は\(k\)のネイバーフッド（近傍）であること。
ステップ3:
\(\{U_{1, k} k {N_{1, k}}^{-1} \vert k \in K\}\)は\(K\)のオープンカバー（開被覆）である。
\(K\)はコンパクトサブセット（部分集合）であるから、あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{U_{1, k_j} k_j {N_{1, k_j}}^{-1} \vert j \in \{1, ..., n\}\}\)がある。
したがって、\(\{N_{1, k_j} k_j {N_{1, k_j}}^{-1} \vert j \in \{1, ..., n\}\}\)は\(K\)のファイナイト（有限）カバーである。
ステップ4:
\(N_1 := N_{1, k_1} \cap ... \cap N_{1, k_n}\)を取ろう、それは、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題および任意のグループ（群）に対して、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であるという命題によって。
\(N_1 K {N_1}^{-1} \subseteq U\)であることを見よう。
\(g \in N_1 K {N_1}^{-1}\)を任意のものとしよう。
\(g \in N_1 k {N_1}^{-1}\)、ある\(k \in K\)に対して。
\(N_1 \subseteq N_{1, k_j}\)、各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、であるから、\({N_1}^{-1} \subseteq {N_{1, k_j}}^{-1}\)および\(N_1 k {N_1}^{-1} \subseteq N_{1, k_j} k {N_{1, k_j}}^{-1}\)。
しかし、\(k \in N_{1, k_l} k_l {N_{1, k_l}}^{-1}\)、ある\(l \in \{1, ..., n\}\)に対して、なぜなら、\(\{N_{1, k_j} k_j {N_{1, k_j}}^{-1} \vert j \in \{1, ..., n\}\}\)は\(K\)をカバーする。
したがって、\(N_{1, k_l} k {N_{1, k_l}}^{-1} \subseteq N_{1, k_l} N_{1, k_l} k_l {N_{1, k_l}}^{-1} {N_{1, k_l}}^{-1} = {N_{1, k_l}}^2 k_l {{N_{1, k_l}}^{-1}}^2 = {N_{1, k_l}}^2 k_l {{N_{1, k_l}}}^2 \subseteq N'_{1, k_l} k_l N'_{1, k_l} = N'_{1, k_l} k_l {N'_{1, k_l}}^{-1} \subseteq U\)。
したがって、\(g \in N_1 k {N_1}^{-1} \subseteq U\)。
したがって、\(N_1 K {N_1}^{-1} \subseteq U\)。
