2025年7月6日日曜日

1196: グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちである

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グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであることの記述/証明

話題


About: グループ(群)
About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ(群)たち }\}\)で任意のトポロジーを持ち当該グループ(群)オペレーションたちがコンティニュアス(連続)であるもの
\(g_0\): \(\in G\)
\(f_i\): \(: G \to G, g \mapsto g^{-1}\)
\(f_l\): \(: G \to G, g \mapsto g_0 g\)
\(f_r\): \(: G \to G, g \mapsto g g_0\)
\(f_c\): \(: G \to G, g \mapsto g_0 g {g_0}^{-1}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(f_i, f_l, f_r, f_c \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム(位相同形写像)たち }\}\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \(f_i\)はバイジェクション(全単射)であることを見、インバース(逆)マップ(写像)\({f_i}^{-1}\)を取る; ステップ2: \(f_i\)および\({f_i}^{-1}\)はコンティニュアス(連続)であることを見る; ステップ3: \(f_l\)はバイジェクション(全単射)であることを見、インバース(逆)マップ(写像)\({f_l}^{-1}\)を取る; ステップ4: \(f_l\)および\({f_l}^{-1}\)はコンティニュアス(連続)であることを見る; ステップ5: \(f_r\)はバイジェクション(全単射)であることを見、インバース(逆)マップ(写像)\({f_r}^{-1}\)を取る; ステップ6: \(f_r\)および\({f_r}^{-1}\)はコンティニュアス(連続)であることを見る; ステップ7: \(f_c\)はバイジェクション(全単射)であることを見、インバース(逆)マップ(写像)\({f_c}^{-1}\)を取る; ステップ8: \(f_c\)および\({f_c}^{-1}\)はコンティニュアス(連続)であることを見る。

ステップ1:

\(f_i\)はバイジェクション(全単射)であることを見る。

\(g, g' \in G\)を\(g \neq g'\)を満たす任意のものたちとしよう。

\(g^{-1} = g'^{-1}\)であったと仮定しよう。

\(g' g^{-1} g = g' g'^{-1} g\)、したがって、\(g = g'\)、矛盾。

したがって、\(g^{-1} \neq g'^{-1}\)、したがって、\(f_i\)はインジェクション(単射)である。

\(g' \in G\)を任意のものとする。

\({g'^{-1}}^{-1} = g'\)、したがって、\(f_i\)はサージェクション(全射)である。

したがって、\(f_i\)はバイジェクション(全単射)である、したがって、インバース(逆)\({f_i}^{-1}: G \to G\)がある。

\({f_i}^{-1}: g \mapsto g^{-1}\)。

ステップ2:

\(f_i\)はコンティニュアス(連続)である、当該仮定によって。

\({f_i}^{-1}\)はコンティニュアス(連続)である、なぜなら、それは\(f_i\)に等しい。

したがって、\(f_i\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である。

ステップ3:

\(f_l\)はバイジェクション(全単射)であることを見よう。

\(g, g' \in G\)を\(g \neq g'\)を満たす任意のものとしよう。

\(g_0 g = g_0 g'\)であったと仮定しよう。

\({g_0}^{-1} g_0 g = {g_0}^{-1} g_0 g'\)、したがって、\(g = g'\)、矛盾。

したがって、\(g_0 g \neq g_0 g'\)、したがって、\(f_l\)はインジェクション(単射)である。

\(g' \in G\)を任意のものとしよう。

\(g_0 {g_0}^{-1} g' = g'\)、したがって、\(f_l\)はサージェクション(全射)である。

したがって、\(f_l\)はバイジェクション(全単射)である、したがって、インバース(逆)\({f_l}^{-1}: G \to G\)がある。

\({f_l}^{-1}: g \mapsto {g_0}^{-1} g\)。

ステップ4:

\(f_l\)は、マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)\(: G \times G \to G\)の第1引数を固定することによってインデュースト(誘導された)マップ(写像)である、それはコンティニュアス(連続)である、当該マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるから、任意のプロダクトトポロジカルスペース(空間)から任意のトポロジカルスペース(空間)の中への任意のコンティニュアスマップ(写像)に対して、ドメイン(定義域)のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット(集合)を固定したインデュースト(誘導された)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるという命題によって。

\({f_l}^{-1}\)は、マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)\(: G \times G \to G\)の第1引数を固定することによってインデュースト(誘導された)マップ(写像)である、それはコンティニュアス(連続)である、同様に。

したがって、\(f_l\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である。

ステップ5:

\(f_r\)はバイジェクション(全単射)であることを見よう。

\(g, g' \in G\)は\(g \neq g'\)を満たす任意のものとしよう。

\(g g_0 = g' g_0\)であったと仮定しよう。

\(g g_0 {g_0}^{-1} = g' g_0 {g_0}^{-1}\)、したがって、\(g = g'\)、矛盾。

したがって、\(g g_0 \neq g' g_0\)、したがって、\(f_r\)はインジェクション(単射)である。

\(g' \in G\)を任意のものとしよう。

\(g' {g_0}^{-1} g_0 = g'\)、したがって、\(f_r\)はサージェクション(全射)である。

したがって、\(f_r\)はバイジェクション(全単射)である、したがって、インバース(逆)\({f_r}^{-1}: G \to G\)がある。

\({f_r}^{-1}: g \mapsto g {g_0}^{-1}\)。

ステップ6:

\(f_r\)は、マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)\(: G \times G \to G\)の第2引数を固定することによってインデュースト(誘導された)マップ(写像)である、それはコンティニュアス(連続)である、当該マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるから、任意のプロダクトトポロジカルスペース(空間)から任意のトポロジカルスペース(空間)の中への任意のコンティニュアスマップ(写像)に対して、ドメイン(定義域)のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット(集合)を固定したインデュースト(誘導された)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるという命題によって。

\({f_r}^{-1}\)は、マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)\(: G \times G \to G\)の第2引数を固定することによってインデュースト(誘導された)マップ(写像)である、それはコンティニュアス(連続)である、同様に。

したがって、\(f_r\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である。

ステップ7:

\(f_c\)はバイジェクション(全単射)である、任意のグループ(群)に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィズム(同形写像)であるという命題によって。

したがって、インバース(逆)\({f_c}^{-1}: G \to G\)がある。

\({f_c}^{-1}: g \mapsto {g_0}^{-1} g g_0\)。

ステップ8:

3-マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)\(: G \times G \times G \to G, (g_1, g_2, g_3) \mapsto g_1 g_2 g_3\)はコンティニュアス(連続)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群)に対して、任意のファイナイト(有限)マルチプリケーション(積)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるという命題によって。

\(f_c\)は、当該3-マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)の第1引数および第3引数を固定することによってインデュースト(誘導された)マップ(写像)である、それはコンティニュアス(連続)である、当該3-マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるから、任意のプロダクトトポロジカルスペース(空間)から任意のトポロジカルスペース(空間)の中への任意のコンティニュアスマップ(写像)に対して、ドメイン(定義域)のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット(集合)を固定したインデュースト(誘導された)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるという命題によって。

\({f_c}^{-1}\)は、当該3-マルチプリケーション(乗法)マップ(写像)の第1引数および第3引数を固定することによってインデュースト(誘導された)マップ(写像)である、それはコンティニュアス(連続)である、同様に。

したがって、\(f_c\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である。


参考資料


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