グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）に対する要素によるコンジュゲーションの定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群）に対して、任意のファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で任意のトポロジーを持ち当該グループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(g_0\): \(\in G\)
\(f_i\): \(: G \to G, g \mapsto g^{-1}\)
\(f_l\): \(: G \to G, g \mapsto g_0 g\)
\(f_r\): \(: G \to G, g \mapsto g g_0\)
\(f_c\): \(: G \to G, g \mapsto g_0 g {g_0}^{-1}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_i, f_l, f_r, f_c \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_i\)はバイジェクション（全単射）であることを見、インバース（逆）マップ（写像）\({f_i}^{-1}\)を取る; ステップ2: \(f_i\)および\({f_i}^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: \(f_l\)はバイジェクション（全単射）であることを見、インバース（逆）マップ（写像）\({f_l}^{-1}\)を取る; ステップ4: \(f_l\)および\({f_l}^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ5: \(f_r\)はバイジェクション（全単射）であることを見、インバース（逆）マップ（写像）\({f_r}^{-1}\)を取る; ステップ6: \(f_r\)および\({f_r}^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ7: \(f_c\)はバイジェクション（全単射）であることを見、インバース（逆）マップ（写像）\({f_c}^{-1}\)を取る; ステップ8: \(f_c\)および\({f_c}^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見る。
ステップ1:
\(f_i\)はバイジェクション（全単射）であることを見る。
\(g, g' \in G\)を\(g \neq g'\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(g^{-1} = g'^{-1}\)であったと仮定しよう。
\(g' g^{-1} g = g' g'^{-1} g\)、したがって、\(g = g'\)、矛盾。
したがって、\(g^{-1} \neq g'^{-1}\)、したがって、\(f_i\)はインジェクション（単射）である。
\(g' \in G\)を任意のものとする。
\({g'^{-1}}^{-1} = g'\)、したがって、\(f_i\)はサージェクション（全射）である。
したがって、\(f_i\)はバイジェクション（全単射）である、したがって、インバース（逆）\({f_i}^{-1}: G \to G\)がある。
\({f_i}^{-1}: g \mapsto g^{-1}\)。
ステップ2:
\(f_i\)はコンティニュアス（連続）である、当該仮定によって。
\({f_i}^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは\(f_i\)に等しい。
したがって、\(f_i\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ3:
\(f_l\)はバイジェクション（全単射）であることを見よう。
\(g, g' \in G\)を\(g \neq g'\)を満たす任意のものとしよう。
\(g_0 g = g_0 g'\)であったと仮定しよう。
\({g_0}^{-1} g_0 g = {g_0}^{-1} g_0 g'\)、したがって、\(g = g'\)、矛盾。
したがって、\(g_0 g \neq g_0 g'\)、したがって、\(f_l\)はインジェクション（単射）である。
\(g' \in G\)を任意のものとしよう。
\(g_0 {g_0}^{-1} g' = g'\)、したがって、\(f_l\)はサージェクション（全射）である。
したがって、\(f_l\)はバイジェクション（全単射）である、したがって、インバース（逆）\({f_l}^{-1}: G \to G\)がある。
\({f_l}^{-1}: g \mapsto {g_0}^{-1} g\)。
ステップ4:
\(f_l\)は、マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）\(: G \times G \to G\)の第1引数を固定することによってインデュースト（誘導された）マップ（写像）である、それはコンティニュアス（連続）である、当該マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるから、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\({f_l}^{-1}\)は、マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）\(: G \times G \to G\)の第1引数を固定することによってインデュースト（誘導された）マップ（写像）である、それはコンティニュアス（連続）である、同様に。
したがって、\(f_l\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ5:
\(f_r\)はバイジェクション（全単射）であることを見よう。
\(g, g' \in G\)は\(g \neq g'\)を満たす任意のものとしよう。
\(g g_0 = g' g_0\)であったと仮定しよう。
\(g g_0 {g_0}^{-1} = g' g_0 {g_0}^{-1}\)、したがって、\(g = g'\)、矛盾。
したがって、\(g g_0 \neq g' g_0\)、したがって、\(f_r\)はインジェクション（単射）である。
\(g' \in G\)を任意のものとしよう。
\(g' {g_0}^{-1} g_0 = g'\)、したがって、\(f_r\)はサージェクション（全射）である。
したがって、\(f_r\)はバイジェクション（全単射）である、したがって、インバース（逆）\({f_r}^{-1}: G \to G\)がある。
\({f_r}^{-1}: g \mapsto g {g_0}^{-1}\)。
ステップ6:
\(f_r\)は、マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）\(: G \times G \to G\)の第2引数を固定することによってインデュースト（誘導された）マップ（写像）である、それはコンティニュアス（連続）である、当該マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるから、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\({f_r}^{-1}\)は、マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）\(: G \times G \to G\)の第2引数を固定することによってインデュースト（誘導された）マップ（写像）である、それはコンティニュアス（連続）である、同様に。
したがって、\(f_r\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ7:
\(f_c\)はバイジェクション（全単射）である、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、インバース（逆）\({f_c}^{-1}: G \to G\)がある。
\({f_c}^{-1}: g \mapsto {g_0}^{-1} g g_0\)。
ステップ8:
3-マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）\(: G \times G \times G \to G, (g_1, g_2, g_3) \mapsto g_1 g_2 g_3\)はコンティニュアス（連続）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群）に対して、任意のファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f_c\)は、当該3-マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）の第1引数および第3引数を固定することによってインデュースト（誘導された）マップ（写像）である、それはコンティニュアス（連続）である、当該3-マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるから、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\({f_c}^{-1}\)は、当該3-マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）の第1引数および第3引数を固定することによってインデュースト（誘導された）マップ（写像）である、それはコンティニュアス（連続）である、同様に。
したがって、\(f_c\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
