ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）に対して、オープンサブスペース（開部分空間）はローカルにコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のオープンサブスペース（開部分空間）はローカルにコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
"証明"が示すとおり、\(T\)はオープン（開）である必要がある、本命題が適用されるためには。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t \in T\)に対して、\(t\)の\(T\)上における任意のネイバーフッド（近傍）\(N'_t\)を取り、\(N'_t\)は\(t\)の\(T'\)上におけるネイバーフッド（近傍）であることを見る; ステップ2: \(t\)の\(T'\)上におけるあるコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）で\(N'_t\)内に包含されているもの\(N_t\)を取る; ステップ3: \(N_t\)は\(t\)の\(T\)上におけるコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）であることを見る。
ステップ1:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(N'_t \subseteq T\)を\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(N'_t\)は\(t \in T'\)の\(T'\)上におけるネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(t\)の\(T\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_t \subseteq T\)、つまり、\(U'_t \subseteq N'_t\)、がある、それは、\(T'\)上でもオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ2:
\(t\)の\(T'\)上における以下を満たすあるコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）\(N_t \subseteq T'\)、つまり、\(t \in N_t \subseteq N'_t\)、がある、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義によって。
ステップ3:
\(N_t \subseteq N'_t \subseteq T\)は\(T\)のネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(t\)の\(T'\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T'\)、つまり、\(U_t \subseteq N_t\)、がある、それは、\(t\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）でもある、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(N_t\)は\(T'\)のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であるところ、\(N_t\)は\(T\)のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。
したがって、\(N_t\)は\(t\)の\(T\)上におけるコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）である。
したがって、\(T\)はローカルにコネクテッド（連結された）である。
