トポロジカルスペース（空間）および\(2\)個のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちに対して、サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちはサブスペース（部分空間）たちまたはサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および\(2\)個の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該サブスペース（部分空間）たちまたは当該サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_1\): \(\in \{T' \text{ の全てのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{T' \text{ の全てのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(T_1 \cup T_2\): \(\subseteq T'\)、トポロジカルサブスペース（部分空間）として
//
ステートメント（言明）たち:
\(T_1 \cup T_2\)は、コネクテッド（連結された）コンポーネントたち\(\{T_1, T_2\}\)または\(\{T_1 \cup T_2\}\)を持つ
//
2: 注
任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の2つのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、それらサブスペース（部分空間）たちの内の1つの上のあるポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他方サブスペース（部分空間）のあるポイントを包含する場合、という命題および任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちで任意のポイントを共有しているものたちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるという命題を参照のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t_1, t'_1 \in T_1\)に対して、\(t_1\)と\(t'_1\)は\(T_1 \cup T_2\)上でコネクテッド（連結された）であり、各\(t_2, t'_2 \in T_2\)に対して、\(t_2\)と\(t'_2\)は\(T_1 \cup T_2\)上でコネクテッド（連結された）であることを見る; ステップ2: 各\(t_1\)はどの\(t_2\)にもコネクテッド（連結された）でないと仮定し、\(\{T_1, T_2\}\)がコネクテッド（連結された）コンポーネントたちであることを見る; ステップ3: ある\(t_1\)がある\(t_2\)にコネクテッド（連結された）であると仮定し、\(\{T_1 \cup T_2\}\)がコネクテッド（連結された）コンポーネントであることを見る。
ステップ1:
\(t_1, t'_1 \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(T'\)のサブスペース（部分空間）としての\(T_1\)は\(T_1 \cup T_2\)のサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。
したがって、\(T_1\)は、\(T_1 \cup T_2\)のあるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）で\(t_1\)および\(t'_1\)を包含するものである。
したがって、\(t_1\)と\(t'_1\)は\(T_1 \cup T_2\)上でコネクテッド（連結された）である。
各\(t_2, t'_2 \in T_2\)に対して、\(t_2\)と\(t'_2\)は\(T_1 \cup T_2\)上でコネクテッド（連結された）である。
ステップ2:
以下2個のケースたちしかない: 1) 各\(t_1 \in T_1\)はどの\(t_2 \in T_2\)にもコネクテッド（連結された）でない; 2) ある\(t_1 \in T_1\)はある\(t_2 \in T_2\)へコネクテッド（連結された）である。
1) 各\(t_1 \in T_1\)はどの\(t_2 \in T_2\)にもコネクテッド（連結された）でないと仮定しよう。
\(T_1\)は\(T_1 \cup T_2\)上のコネクテッド（連結された）性のあるイクイバレンスクラス（同値類）である、なぜなら、\(T_1\)上の各ポイントたちペアはコネクテッド（連結された）である、ステップ1によって、そして、\(T_1\)上にない各ポイントは\(T_2\)上にあり、当該イクイバレンスクラス（同値類）に属さない、仮定によって。
\(T_2\)は、\(T_1 \cup T_2\)上のコネクテッド（連結された）性のあるイクイバレンスクラス（同値類）である、同様に。
したがって、\(\{T_1, T_2\}\)が\(T_1 \cup T_2\)のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちである。
ステップ3:
2) ある\(t_1 \in T_1\)がある\(t_2 \in T_2\)へコネクテッド（連結された）であると仮定しよう。
\(T_1 \cup T_2\)の各ポイントたちペアはコネクテッド（連結された）である、なぜなら、それらが\(t'_1, t''_1 \in T_1\)である時、それらはコネクテッド（連結された）である、ステップ1によって; それらが\(t'_1 \in T_1\)および\(t'_2 \in T_2\)である時、それらはコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(t'_1\)と\(t_1\)はコネクテッド（連結された）である、\(t_1\)と\(t_2\)はコネクテッド（連結された）である、\(t_2\)と\(t'_2\)はコネクテッド（連結された）である; それらが\(t'_2, t''_2 \in T_2\)である時、それらはコネクテッド（連結された）である、ステップ1によって。
したがって、\(T_1 \cup T_2\)が、\(T_1 \cup T_2\)上のコネクテッド（連結された）性のイクイバレンスクラス（同値類）である。
したがって、\(\{T_1 \cup T_2\}\)が、\(T_1 \cup T_2\)のコネクテッド（連結された）コンポーネントである。
