トポロジカルスペース（空間）およびコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのセット（集合）に対して、サブスペース（部分空間）は、サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）のコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちで任意のポイントを共有しているものたちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちの任意のセット（集合）に対して、各サブスペース（部分空間）は、当該サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）のあるコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \vert j \in J\}\): \(T_j \in \{T' \text{ の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(T\): \(= \cup_{j \in J} T_j \subseteq T'\)でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (\exists C \in \{T \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\} (T_j \subseteq C))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T_j\)は\(T\)のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(T_j\)は\(T\)のあるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。
ステップ2:
\(T_j\)を包含する全ての\(T\)のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）を取ろう、それは、\(T\)のあるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）でより大きくできないものである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちで任意のポイントを共有しているものたちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるという命題によって: それはより大きくできない、なぜなら、もしも、より大きいものがあったら、当該より大きいものは当該ユニオン（和集合）内に含まれていることになる。
したがって、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題によって、当該ユニオン（和集合）は、\(T\)のあるコネクテッド（連結された）コンポーネントでその中に\(T_j\)が包含されているものである。
