メトリックスペース（計量付き空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）へのディスタンス（距離）たちが\(0\)であるポイントたちのセット（集合）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）へのディスタンス（距離）たちが\(0\)であるポイントたちのセット（集合）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq T\)
\(R\): \(= \{r \in T \vert dist (r, S) = 0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(R = \overline{S}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(R \subseteq \overline{S}\)であることを見よう; ステップ2: \(\overline{S} \subseteq R\)であることを見よう。
ステップ1:
\(r \in R\)を任意のものとしよう。
\(U_r \subseteq T\)を\(r\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
以下を満たすある\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{r, \epsilon} \subseteq U_r\)、ここで、\(B_{r, \epsilon}\)は\(r\)周りの\(\epsilon\)-オープンボール（開球）、がある。
\(dist (r, S) := inf \{dist (r, s) \vert s \in S\}\)、したがって、\(dist (r, S) = 0\)は、以下を満たすある\(s \in S\)、つまり、\(dist (r, s) \lt \epsilon\)、がある、があることを意味する、それが意味するのは、\(s \in B_{r, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{r, \epsilon} \cap S \neq \emptyset\)、それが含意するのは、\(U_r \cap S \neq \emptyset\)。
したがって、\(r \in \overline{S}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(R \subseteq \overline{S}\)。
ステップ2:
\(s' \in \overline{S}\)を任意のものとしよう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(B_{s', \epsilon} \cap S \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
それが意味するのは、以下を満たすある\(s \in S\)、つまり、\(s \in B_{s', \epsilon}\)、があるということ、それが意味するのは、\(dist (s', s) \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(inf \{dist (s', s) \vert s \in S\} = 0\)、それが意味するのは、\(dist (s', S) = 0\)。
したがって、\(s' \in R\)。
したがって、\(\overline{S} \subseteq R\)。
