ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で\(1\)個の共有された要素を持つ\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つもの、シンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）\((0, 2)\)-テンソルで共有された要素によるそのインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）が\(0\)であるものに対して、もしも、テンソルの、一方のサブスペース（部分空間）上のリストリクション（制限）がノンディジェネレート（非縮退）である場合、他方のリストリクション（制限）はノンディジェネレート（非縮退）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義を知っている。
- 読者は、テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義を知っている。
- 読者は、マトリックス（行列）の\((j, l)\)-マイナー（小行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）で\(2\)個の任意のスクウェア（正方）ブロックたちを持ち、残りのブロックたちの\(1\)個が\(0\)であるものに対して、当該デターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該ダイアゴナル（対角）ブロックたちのデターミナント（行列式）たちが非ゼロである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、当該サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で\(1\)個の任意の共有された要素を持つ\(2\)個の任意のベーシス（基底）たちを持つもの、任意のシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）\((0, 2)\)-テンソルで当該共有された要素によるそのインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）が\(0\)であるもの、当該ベーシス（基底）たちマイナス当該共有された要素によってスパン（張る）される\(2\)個のベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、当該テンソルの、当該サブスペース（部分空間）たちの一方の上のリストリクション（制限）がノンディジェネレート（非縮退）である場合、他方のサブスペース（部分空間）上のリストリクション（制限）はノンディジェネレート（非縮退）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(d'\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B_1\): \(= (b, b_{1, 1}, ..., b_{1, d' - 1})\), \(\in \{V' \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B_2\): \(= (b, b_{2, 1}, ..., b_{2, d' - 1})\), \(\in \{V' \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(V_1\): \(= Span (\{b_{1, 1}, ..., b_{1, d' - 1}\})\), \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(= Span (\{b_{2, 1}, ..., b_{2, d' - 1}\})\), \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(t\): \(\in T^0_2 (V')\)で、\(i_b (t) = 0\)を満たすもの
\(t_1\): \(= t \vert_{V_1 \times V_1}: V_1 \times V_1 \to F\)
\(t_2\): \(= t \vert_{V_2 \times V_2}: V_2 \times V_2 \to F\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(t_1 \in \{\text{ 全てのノンディジェネレート（非縮退） } (0, 2) \text{ -テンソルたち }\}\)
\(\implies\)
\(t_2 \in \{\text{ 全てのノンディジェネレート（非縮退） } (0, 2) \text{ -テンソルたち }\}\)
//
2: 注
コンディション\(i_b (t) = 0\)が肝要である、本命題のためには、"証明"内で見られるとおり。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たすトランジションマトリックス（遷移行列）\(M'\)、つまり、\((b, b_{2, 1}, ..., b_{2, d' - 1}) = (b, b_{1, 1}, ..., b_{1, d' - 1}) M'\)、を取り、その\((1, 1)\)-マイナー（小行列）\(M\)はインバーティブル（可逆）であることを見る; ステップ2: \(t_2 (b_{2, j}, \bullet) = M^l_j t (b_{1, l}, \bullet) \vert_{V_2}\)であることを見る; ステップ3: \(\{r^j t_2 (b_{2, j}, v) \vert v \in V_2\} = \{r^j M^n_j t_1 (b_{1, n}, v) \vert v \in V_1\}\)であることを見る; ステップ4: \(r^j t_2 (b_{2, j}, \bullet) = 0\)であると仮定し、\(r^j M^n_j t_1 (b_{1, n}, \bullet) = 0\)および\(r^j = 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(B_1\)から\(B_2\)への以下を満たすトランジションマトリックス（遷移行列）\(M'\)、つまり、\((b, b_{2, 1}, ..., b_{2, d' - 1}) = (b, b_{1, 1}, ..., b_{1, d' - 1}) M'\)、を取ろう。
\(M'\)はインバーティブル（可逆）である、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題によって。
\(M'\)の第1列は、\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}\)、なぜなら、\(b = b M'^1_1 + b_{1, j} M'^j_1\)、それが含意するのは、\(M'^1_1 = 1\)および\(M'^j_1 = 0\): \(b\)の\(B_1\)に関する分解はユニークである、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
\(M\)を\(M'\)の\((1, 1)\)-マイナー（小行列）としよう、行たちインデックスおよび列たちインデックスを\((1, ..., d' - 1)\)として。
\(det M \neq 0\)、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）で\(2\)個の任意のスクウェア（正方）ブロックたちを持ち、残りのブロックたちの\(1\)個が\(0\)であるものに対して、当該デターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該ダイアゴナル（対角）ブロックたちのデターミナント（行列式）たちが非ゼロである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ2:
各\(j \in \{1, ..., d' - 1\}\)に対して、\(b_{2, j} = b M'^1_j + b_{1, l} M^l_j\)。
したがって、\(t_2 (b_{2, j}, \bullet) = t_2 (b M'^1_j + b_{1, l} M^l_j, \bullet) = t (b M'^1_j + b_{1, l} M^l_j, \bullet) \vert_{V_2} = M'^1_j t (b, \bullet) \vert_{V_2} + M^l_j t (b_{1, l}, \bullet) \vert_{V_2} = M'^1_j 0 \vert_{V_2} + M^l_j t (b_{1, l}, \bullet) \vert_{V_2}\)、なぜなら、\(i_b (t) = 0\)、\(= M^l_j t (b_{1, l}, \bullet) \vert_{V_2}\)。
ステップ3:
\(v = v^m b_{2, m} \in V_2\)を任意のものとしよう。
\(v = v^m (b M'^1_m + b_{1, n} M^n_m)\)。
\(t_2 (b_{2, j}, v) = M^l_j t (b_{1, l}, v^m (b M'^1_m + b_{1, n} M^n_m)) = M^l_j t (b_{1, l}, v^m b M'^1_m + v^m b_{1, n} M^n_m) = M^l_j t (b_{1, l}, v^m b M'^1_m) + M^l_j t (b_{1, l}, v^m b_{1, n} M^n_m) = M^l_j v^m M'^1_m t (b_{1, l}, b) + M^l_j t (b_{1, l}, v^m b_{1, n} M^n_m) = + \text{ or } - M^l_j v^m M'^1_m t (b, b_{1, l}) + M^l_j t (b_{1, l}, v^m b_{1, n} M^n_m)\)、なぜなら、\(t\)はシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、\(= + \text{ または } - M^l_j v^m M'^1_m 0 + M^l_j t (b_{1, l}, v^m b_{1, n} M^n_m)\)、なぜなら、\(i_b (t) = 0\)、\(= M^l_j t (b_{1, l}, b_{1, n} M^n_m v^m)\)。
各\(j \in \{1, ..., d' - 1\}\)に対して、\(r^j \in F\)を任意のものとしよう。
\(r^j t_2 (b_{2, j}, v) = r^j M^l_j t (b_{1, l}, b_{1, n} M^n_m v^m)\)、それは、\(r^j M^l_j t (b_{1, l}, \bullet)\)を\(b_{1, n} M^n_m v^m\)に作用させたものである。
しかし、\(M\)はインバーティブル（可逆）であるから、\((M^1_m v^m, ..., M^{d' - 1}_m v^m)^t = M \begin{pmatrix} v^1 \\ ... \\ v^{d' - 1} \end{pmatrix}\)は\(F^{d' - 1}\)をカバーする、したがって、\(b_{1, n} M^n_m v^m\)は\(V_1\)全体をカバーする。
したがって、\(\{r^j t_2 (b_{2, j}, v) \vert v \in V_2\} = \{r^j M^l_j t (b_{1, l}, v) \vert v \in V_1\} = \{r^j M^l_j t_1 (b_{1, l}, v) \vert v \in V_1\}\)。
ステップ4:
\(r^j t_2 (b_{2, j}, \bullet) = 0\)であると仮定しよう、それは、\((t_2 (b_{2, 1}, \bullet), ..., t_2 (b_{2, d' - 1}, \bullet))\)がリニアにインディペンデント（線形独立）であることを見るためである。
それが含意するのは、各\(v \in V_2\)に対して、\((r^j t_2 (b_{2, j}, \bullet)) (v) = 0\)、ここで、左辺は\(r^j t_2 (b_{2, j}, v)\)である。
それが含意するのは、\(\{r^j t_2 (b_{2, j}, v) \vert v \in V_2\} = \{0\}\)。
ステップ3によって、\(\{r^j M^l_j t_1 (b_{1, l}, v) \vert v \in V_1\} = \{0\}\)。
それが含意するのは、\(r^j M^l_j t_1 (b_{1, l}, \bullet) = 0\)。
\(t_1\)はノンディジェネレート（非縮退）であるから、\(\widehat{t_1}: V_1 \to {V_1}^*\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義内に言及されているとおり。
したがって、\((t_1 (b_{1, 1}, \bullet), ..., t_1 (b_{1, d' - 1}, \bullet))\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題によって。
しかし、\(M\)はインバーティブル（可逆）であるから、\((M^l_1 t_1 (b_{1, l}, \bullet), ..., M^l_{d' - 1} t_1 (b_{1, l}, \bullet))\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題によって。
それが含意するのは、\(r^j\)たちは\(0\)であること。
したがって、\((t_2 (b_{2, 1}, \bullet), ..., t_2 (b_{2, d' - 1}, \bullet))\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である。
\({V_2}^*\)は\((d' - 1)\)-ディメンショナル（次元）であるから、\(\widehat{t_2}: V_2 \to {V_2}^*\)はサージェクティブ（全射）である、したがって、それはバイジェクティブ（全単射）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、当該サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）であるという命題によって。
したがって、\(t_2\)はノンディジェネレート（非縮退）である、ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義内に言及されているとおり。
