メトリックスペース（計量付き空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）に対して、マップ（写像）のコンパクトドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）はユニフォーム（一様）にコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティニュアス（連続）な、メトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックサブスペース（計量付き部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）間のユニフォーム（一様）にコンティニュアスマップ（連続写像）の定義を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）で当該ドメイン（定義域）がインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、当該マップ（写像）の任意のコンパクトドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）はユニフォーム（一様）にコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(K\): \(\in \{M_1 \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)、当該メトリックサブスペース（計量付き部分空間）として
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \vert_K: K \to M_2 \in \{\text{ 全てのユニフォーム（一様）にコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(\epsilon\)および各\(k \in K\)に対して、以下を満たす\(\delta (k)\)、つまり、\(f (B_{k, \delta (k)}) \subseteq B_{f (k), \epsilon / 2}\)、を取り、\(K\)の任意のファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{B_{k_j, \delta (k_j) / 2}\}\)を取り、\(\delta := Min (\{\delta (k_j) / 2\})\)を取る; ステップ2: 各\(k \in K\)に対して、\(f (B_{k, \delta}) \subseteq B_{f (k), \epsilon}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
各\(k \in K\)に対して、以下を満たすある\(\delta (k) \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta (k)\)および\(f (B_{k, \delta (k)}) \subseteq B_{f (k), \epsilon / 2}\)、がある、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(\{B_{k, \delta (k) / 2} \vert k \in K\}\)は\(K\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(K\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）であるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{B_{k_j, \delta (k_j) / 2} \vert j \in J, k_j \in K\}\)、ここで、\(J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある。
\(\delta := Min (\{\delta (k_j) / 2 \vert j \in J\})\)としよう。
ステップ2:
\(k \in K\)を任意のものとしよう。
\(f (B_{k, \delta}) \subseteq B_{f (k), \epsilon}\)であることを見よう。
\(k \in B_{k_j, \delta (k_j) / 2}\)、ある\(j \in J\)に対して。
\(f (B_{k_j, \delta (k_j)}) \subseteq B_{f (k_j), \epsilon / 2}\)であるから、\(dist (f (k_j), f (k)) \lt \epsilon / 2\)。
\(k' \in B_{k, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(dist (k', k_j) \le dist (k', k) + dist (k, k_j) \lt \delta + \delta (k_j) / 2 \le \delta (k_j) / 2 + \delta (k_j) / 2 = \delta (k_j)\)、それが意味するのは、\(k' \in B_{k_j, \delta (k_j)}\)。
したがって、\(f (B_{k_j, \delta (k_j)}) \subseteq B_{f (k_j), \epsilon / 2}\)であるから、\(dist (f (k'), f (k_j)) \lt \epsilon / 2\)。
\(dist (f (k'), f (k)) \le dist (f (k'), f (k_j)) + dist (f (k_j), f (k)) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(f (B_{k, \delta}) \subseteq B_{f (k), \epsilon}\)。
ステップ3:
したがって、\(f \vert_K (B_{k, \delta} \cap K) \subseteq B_{f (k), \epsilon}\)。
しかし、\(B_{k, \delta} \cap K\)は\(K\)上における\(B_{k, \delta}\)である、当該サブスペースメトリック（部分空間計量）によって。
したがって、\(f \vert_K (B_{k, \delta}) \subseteq B_{f (k), \epsilon}\)、ここで、ここでの\(B_{k, \delta}\)は\(K\)上のオープンボール（開球）である。
したがって、\(f \vert_K\)はユニフォーム（一様）にコンティニュアス（連続）である。
