\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）に対して、インテグラルカーブたちでパラメータたちポイントにおいて一致するものたちは共通パラメータたちエリア上方で一致することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）のインテグラルカーブの定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への任意の\(C^1\)マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題を認めている。
- 読者は、あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）である初期コンディションを持つものに対するあるクローズドインターバルドメイン（閉区間定義域）に対するローカルユニーク解存在、当該解のドメイン（定義域）エリアのある明確化を持ってを認めている。
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）で初期コンディションを持つものに対する解のローカルユニーク性を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）に対して、任意のインテグラルカーブたちで任意のパラメータたちポイントにおいて一致するものたちは当該共通パラメータたちエリア上方で一致するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\((TM, M, \pi)\): \(= M \text{ 上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\(s\): \(\in \{\pi \text{ の全ての } C^\infty \text{ セクション（断面）たち }\}\)
\(J_1\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのインターバル（区間）たち }\}\)
\(J_2\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのインターバル（空間）たち }\}\)
\(J\): \(= J_1 \cap J_2 \subseteq \mathbb{R}\)
\(\gamma_1\): \(: J_1 \to M\), \(\in \{s \text{ の全てのインテグラルカーブたち }\}\)
\(\gamma_2\): \(: J_2 \to M\), \(\in \{s \text{ の全てのインテグラルカーブたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r_0 \in J (\gamma_1 (r_0) = \gamma_2 (r_0))\)
\(\implies\)
\(\gamma_1 \vert_J = \gamma_2 \vert_J\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ0: これ以降、\(J\)は1ポイントインターバル（区間）ではないと仮定する; ステップ1: \(r_0\)が\(J\)のインテリア（内部）内にない時は、\(J\)のインテリア内に別の\(r_0\)を取る; ステップ2: \(J\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でないと仮定する; ステップ3: \(\gamma_1 \vert_{[r_0, \infty)} \neq \gamma_2 \vert_{[r_0, \infty)}\)であったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ4: \(J\)はアッパーバウンデッド（上方有界）であると仮定する; ステップ5: \(r' := Sup (\{r \in J \vert r_0 \le r \land \gamma_1 \vert_{[r_0, r]} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r]}\})\)は当該アッパーバウンダリー（上方境界）でなかったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ6: \(J\)はローワーバウンデッド（下方有界）でないと仮定する; ステップ7: \(\gamma_1 \vert_{(- \infty, r_0]} \neq \gamma_2 \vert_{(- \infty, r_0]}\)であったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ8: \(J\)はローワーバウンデッド（下方有界）であると仮定する; ステップ9: \(r' := Inf (\{r \in J \vert r \le r_0 \land \gamma_1 \vert_{[r, r_0]} = \gamma_2 \vert_{[r, r_0]}\})\)はローワーバウンダリー（下方境界）でなかったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ10: 本命題を結論する。
ステップ0:
\(J\)は任意の1ポイントインターバル（区間）である時は、本命題は明らかに成立する。
したがって、これ以降、\(J\)は1ポイントインターバル（区間）でないと仮定しよう。
ステップ1:
\(r_0\)が\(J\)のインテリア（内部）内にない時は、以下を満たす別の\(r_0\)、つまり、\(\gamma_1 (r_0) = \gamma_2 (r_0)\)は\(J\)のインテリア（内部）内にある、を取ろう、以下のとおり。
\(m_0 := \gamma_1 (r_0) = \gamma_2 (r_0)\)としよう。
\(r_0\)は、\(J\)のローワークローズドバウンダリー（下方閉境界）であるか\(J\)のアッパークローズドバウンダリー（上方閉境界）であるかである。
\(r_0\)は\(J\)のローワークローズドバウンダリー（下方閉境界）であると仮定しよう。
\(J\)は1ポイントでないから、以下を満たすある\(\delta'' \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta''\)および\([r_0, r_0 + \delta'') \subseteq J \subseteq J_j\)、がある。
\(\gamma_j\)は\(s\)のあるインテグラルカーブであるから、\([r_0, r_0 + \delta'')\)上方で、\(d \gamma_j / d r (r) = s (\gamma_j (r))\)。
\(m_0\)周りの任意のチャート\((U_{m_0} \subseteq M, \phi_{m_0})\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_{m_0}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{m_0}})\)を取ろう: \(m_0\)が\(M\)の任意のインテリア（内部）ポイントである時は、\(m_0\)周りの任意のインテリア（内部）チャートを取ろう; \(m_0\)が\(M\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、不可避に、\(m_0\)周りの任意のバウンダリー（境界）チャートを取る。
\(\gamma_j\)はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすある\([r_0, r_0 + \delta') \subseteq [r_0, r_0 + \delta'')\)、つまり、\(\gamma_1 ([r_0, r_0 + \delta')) \subseteq U_{m_0}\)および\(\gamma_2 ([r_0, r_0 + \delta')) \subseteq U_{m_0}\)、がある。
\([r_0, r_0 + \delta')\)上方で、\(\partial_1 (\phi_{m_0} \circ \gamma_j) (r) = \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m_0}} \circ s \circ {\phi_{m_0}}^{-1} (\phi_{m_0} \circ \gamma_j (r))\)、ここで、\(\pi_1: \widetilde{\phi_{m_0}} (\pi^{-1} (U_{m_0})) = \mathbb{R}^d \times \phi_{m_0} (U_{m_0}) \to \mathbb{R}^d\)は当該プロジェクション（射影）。
\(f: \phi_{m_0} (U_{m_0}) \to \mathbb{R}^d, p \mapsto \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m_0}} \circ s \circ {\phi_{m_0}}^{-1} (p)\)としよう、それは、\(C^\infty\)である、なぜなら、\(s\)は\(C^\infty\)である。
\(m_0\)が\(M\)の任意のインテリア（内部）ポイントである時は、\(\phi_{m_0} (U_{m_0})\)は\(\phi_{m_0} (m_0)\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}} \subseteq \phi_{m_0} (U_{m_0})\)、および\(g: B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \to \mathbb{R}^d = f \vert_{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}}\)を取ろう。
\(m_0\)が\(M\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、\(f\)のある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f': U'_{\phi_{m_0} (m_0)} \to \mathbb{R}^d\)、ここで、\(U'_{\phi_{m_0} (m_0)} \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_{m_0} (m_0)\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）、がある、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}} \subseteq U'_{\phi_{m_0} (m_0)}\)、を取ろう、そして、\(g: B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \to \mathbb{R}^d = f' \vert_{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}}\)を取ろう。
\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \cap \phi_{m_0} (U_{m_0})\)は\(\phi_{m_0} (m_0)\)の\(\phi_{m_0} (U_{m_0})\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(\phi_{m_0} \circ \gamma_1 \vert_{[r_0, r_0 + \delta')}: [r_0, r_0 + \delta') \to \phi_{m_0} (U_{m_0})\)および\(\phi_{m_0} \circ \gamma_2 \vert_{[r_0, r_0 + \delta')}: [r_0, r_0 + \delta') \to \phi_{m_0} (U_{m_0})\)はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすある\([r_0, r_0 + \delta) \subseteq [r_0, r_0 + \delta')\)、つまり、\(\phi_{m_0} \circ \gamma_1 ([r_0, r_0 + \delta)) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \cap \phi_{m_0} (U_{m_0}) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)および\(\phi_{m_0} \circ \gamma_2 ([r_0, r_0 + \delta)) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \cap \phi_{m_0} (U_{m_0}) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)、がある。
いずれにせよ、\([r_0, r_0 + \delta)\)上方で、\(\partial_1 (\phi_{m_0} \circ \gamma_j) (r) = g (\phi_{m_0} \circ \gamma_j (r))\)、初期コンディション\(\phi_{m_0} \circ \gamma_j (r_0) = \phi_{m_0} (m_0)\)を持って。
\(g\)はリプシッツである、任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への任意の\(C^1\)マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題によって。
\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)上方にて\(g \le M'\)、ある\(M' \in \mathbb{R}\)に対して、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって: \(f \le M'\)または\(f' \le M'\)、\(\overline{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}}\)上方において。
したがって、あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）である初期コンディションを持つものに対するあるクローズドインターバルドメイン（閉区間定義域）に対するローカルユニーク解存在、当該解のドメイン（定義域）エリアのある明確化を持ってによって、当該オーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、に対する\([r_0 - \epsilon_1, r_0 + \epsilon_2]\)上方におけるユニーク解、ここで、\(0 \lt \epsilon_1, \epsilon_2\)、\(\phi_{m_0} \circ \gamma: [r_0 - \epsilon_1, r_0 + \epsilon_2] \to B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)がある。
\(\epsilon_1 = 0\)および\(\epsilon_2 \lt \delta\)と取って（任意の十分小さい\(\epsilon_1\)および\(\epsilon_2\)を選択する自由がある）、\(\phi_{m_0} \circ \gamma\)がユニーク解である、しかし、\(\phi_{m_0} \circ \gamma_1 \vert_{[r_0, r_0 + \epsilon_2]}\)および\(\phi_{m_0} \circ \gamma_2 \vert_{[r_0, r_0 + \epsilon_2]}\)は何らかの解たちである（それらは\(f\)に対する何らかの解たちであるから、それらは\(g\)に対する何らかの解たちである）から、\(\phi_{m_0} \circ \gamma = \phi_{m_0} \circ \gamma_1 \vert_{[r_0, r_0 + \epsilon_2]} = \phi_{m_0} \circ \gamma_2 \vert_{[r_0, r_0 + \epsilon_2]}\)、それが含意するのは、\(\gamma = \gamma_1 \vert_{[r_0, r_0 + \epsilon_2]} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r_0 + \epsilon_2]}\)。
したがって、特に、\(\gamma_1 (r_0 + \epsilon_2 / 2) = \gamma_2 (r_0 + \epsilon_2 / 2)\)。
したがって、\(r_0 + \epsilon_2 / 2\)を新たな\(r_0\)として取ろう。
\(r_0\)は\(J\)のアッパーバウンダリー（上方境界）であると仮定しよう。
\(J\)は1ポイントでないから、以下を満たすある\(\delta'' \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta''\)および\((r_0 - \delta'', r_0] \subseteq J \subseteq J_j\)、がある。
\(\gamma_j\)は\(s\)のあるインテグラルカーブであるから、\((r_0 - \delta'', r_0]\)上方で、\(d \gamma_j / d r (r) = s (\gamma_j (r))\)。
\(m_0\)周りの任意のチャート\((U_{m_0} \subseteq M, \phi_{m_0})\)およびインデュースト（誘導された）チャート,\((\pi^{-1} (U_{m_0}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{m_0}})\)を取ろう: \(m_0\)が\(M\)の任意のインテリア（内部）ポイントである時は、\(m_0\)周りの任意のインテリア（内部）チャートを取ろう; \(m_0\)が\(M\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、不可避に、\(m_0\)周りの任意のバウンダリー（境界）チャートを取る。
\(\gamma_j\)はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすある\((r_0 - \delta', r_0] \subseteq (r_0 - \delta'', r_0]\)、つまり、\(\gamma_1 ((r_0 - \delta', r_0]) \subseteq U_{m_0}\)および\(\gamma_2 ((r_0 - \delta', r_0]) \subseteq U_{m_0}\)、がある。
\((r_0 - \delta', r_0]\)上方にて、\(\partial_1 (\phi_{m_0} \circ \gamma_j) (r) = \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m_0}} \circ s \circ {\phi_{m_0}}^{-1} (\phi_{m_0} \circ \gamma_j (r))\)。
\(f: \phi_{m_0} (U_{m_0}) \to \mathbb{R}^d, p \mapsto \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m_0}} \circ s \circ {\phi_{m_0}}^{-1} (p)\)としよう、それは、\(C^\infty\)である、なぜなら、\(s\)は\(C^\infty\)である。
\(m_0\)が\(M\)の任意のインテリア（内部）ポイントである時は、\(\phi_{m_0} (U_{m_0})\)は\(\phi_{m_0} (m_0)\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}} \subseteq \phi_{m_0} (U_{m_0})\)、および\(g: B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \to \mathbb{R}^d = f \vert_{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}}\)を取ろう。
\(m_0\)が\(M\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、\(f\)のある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f': U'_{\phi_{m_0} (m_0)} \to \mathbb{R}^d\)、ここで、\(U'_{\phi_{m_0} (m_0)} \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_{m_0} (m_0)\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}} \subseteq U'_{\phi_{m_0} (m_0)}\)、を取ろう、そして、\(g: B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \to \mathbb{R}^d = f' \vert_{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}}\)を取ろう。
\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \cap \phi_{m_0} (U_{m_0})\)は\(\phi_{m_0} (m_0)\)の\(\phi_{m_0} (U_{m_0})\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(\phi_{m_0} \circ \gamma_1 \vert_{(r_0 - \delta', r_0]}: (r_0 - \delta', r_0] \to \phi_{m_0} (U_{m_0})\)および\(\phi_{m_0} \circ \gamma_2 \vert_{(r_0 - \delta', r_0]}: (r_0 - \delta', r_0] \to \phi_{m_0} (U_{m_0})\)はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすある\((r_0 - \delta, r_0] \subseteq (r_0 - \delta', r_0]\)、つまり、\(\phi_{m_0} \circ \gamma_1 ((r_0 - \delta, r_0]) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \cap \phi_{m_0} (U_{m_0}) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)および\(\phi_{m_0} \circ \gamma_2 ((r_0 - \delta, r_0]) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K} \cap \phi_{m_0} (U_{m_0}) \subseteq B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)、がある。
いずれにせよ、\((r_0 - \delta, r_0]\)上方にて、\(\partial_1 (\phi_{m_0} \circ \gamma_j) (r) = g (\phi_{m_0} \circ \gamma_j (r))\)、初期コンディション\(\phi_{m_0} \circ \gamma_j (r_0) = \phi_{m_0} (m_0)\)を持って。
\(g\)はリプシッツである、任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への任意の\(C^1\)マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題によって。
\(B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)上方で\(g \le M'\)、ある\(M' \in \mathbb{R}\)に対して、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって: \(f \le M'\)または\(f' \le M'\)、\(\overline{B_{\phi_{m_0} (m_0), K}}\)上方で。
したがって、あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）である初期コンディションを持つものに対するあるクローズドインターバルドメイン（閉区間定義域）に対するローカルユニーク解存在、当該解のドメイン（定義域）エリアのある明確化を持ってによって、当該オーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、に対する\([r_0 - \epsilon_1, r_0 + \epsilon_2]\)上方におけるユニーク解、ここで、\(0 \lt \epsilon_1, \epsilon_2\)、\(\phi_{m_0} \circ \gamma: [r_0 - \epsilon_1, r_0 + \epsilon_2] \to B_{\phi_{m_0} (m_0), K}\)がある。
\(\epsilon_1 \lt \delta\)および\(\epsilon_2 = 0\)と取って（任意の十分小さい\(\epsilon_1\)および\(\epsilon_2\)を選ぶ自由がある）、\(\phi_{m_0} \circ \gamma\)がユニーク解である、しかし、\(\phi_{m_0} \circ \gamma_1 \vert_{[r_0 - \epsilon_1, r_0]}\)および\(\phi_{m_0} \circ \gamma_2 \vert_{[r_0 - \epsilon_1, r_0]}\)は何らかの解たちである（それらは\(f\)に対する何らかの解たちであるから、それらは\(g\)に対する何らかの解たちである）から、\(\phi_{m_0} \circ \gamma = \phi_{m_0} \circ \gamma_1 \vert_{[r_0 - \epsilon_1, r_0]} = \phi_{m_0} \circ \gamma_2 \vert_{[r_0 - \epsilon_1, r_0]}\)、それが含意するのは、\(\gamma = \gamma_1 \vert_{[r_0 - \epsilon_1, r_0]} = \gamma_2 \vert_{[r_0 - \epsilon_1, r_0]}\)。
したがって、特に、\(\gamma_1 (r_0 - \epsilon_1 / 2) = \gamma_2 (r_0 - \epsilon_1 / 2)\)。
したがって、\(r_0 - \epsilon_1 / 2\)を新たな\(r_0\)と取ろう。
したがって、これ以降、\(r_0\)は\(J\)のインテリア（内部）内にあると仮定する。
ステップ2:
\(J\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でないかもしれないしアッパーバウンデッド（上方有界）であるかもしれない。
\(J\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でないと仮定しよう。
ステップ3:
\(\gamma_1 \vert_{[r_0, \infty)} \neq \gamma_2 \vert_{[r_0, \infty)}\)であったと仮定しよう。
\(r' := Sup (\{r \in J \vert r_0 \le r \land \gamma_1 \vert_{[r_0, r]} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r]}\})\)、ここで、当該サプリマム（上限）は\(\mathbb{R}\)内で取られた、を定義しよう、それは、\(r' \in \mathbb{R}\)として存在することになる、当該仮定によって。
\(r' \in Int (J)\)、明らかに。
\(\gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)、なぜなら、もしも、\(r' = r_0\)であった場合、\(\gamma_1 (r') = \gamma_1 (r_0) = \gamma_2 (r_0) = \gamma_2 (r')\)、そして、そうでなかった場合、もしも、\(\gamma_1 (r') \neq \gamma_2 (r')\)であったら、以下を満たす、\(\gamma_1 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_1 (r')} \subseteq M\)および\(\gamma_2 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_2 (r')} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\gamma_1 (r')} \cap U_{\gamma_2 (r')} = \emptyset\)、があることになる、なぜなら、\(M\)はハウスドルフであった、そして、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq (r_0, \infty)\)、つまり、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_1 (r')}\)および\(\gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_2 (r')}\)、があることになる、なぜなら、\(\gamma_j\)はコンティニュアス（連続）であった、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \cap \gamma_2 (B_{r', \delta}) = \emptyset\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (r' - \delta / 2) \neq \gamma_2 (r' - \delta / 2)\)、\(r'\)はサプリマム（上限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(m' := \gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)としよう。
\(m'\)周りのあるチャート\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_{m'}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{m'}})\)があることになる: \(m'\)があるインテリア（内部）ポイントであった時は、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)をあるインテリア（内部）チャートとしよう; \(m'\)があるバウンダリー（境界）ポイントであった時は、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)は、不可避に、あるバウンダリー（境界）チャートとなる。
\(\gamma_j \vert_J\)はコンティニュアス（連続）であり\(r' \in Int (J)\)であったから、以下を満たすあるポジティブ（正）\(\delta'\)、つまり、\(B_{r', \delta'} \subseteq J\)および\(\gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq U_{m'}\)、があることになる。すると、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)。
\(\gamma_j\)は\(s\)のあるインテグラルカーブであったから、\(B_{r', \delta'}\)上方にて、\(d \gamma_j / d r (r) = s (\gamma_j (r))\)、それは、コンポーネントたち的には、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} \circ \phi_{m'} \circ \gamma_j (r)\)、ここで、\(\pi_1: \widetilde{\phi_{m'}} (\pi^{-1} (U_{m'})) = \mathbb{R}^d \times \phi_{m'} (U_{m'}) \to \mathbb{R}^d\)は当該プロジェクション（射影）、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、で、\(f: \phi_{m'} (U_{m'}) \to \mathbb{R}^d, p \mapsto \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} (p)\)、\(C^\infty\)、なぜなら、\(s\)は\(C^\infty\)であった、を持つものになる。
\(m'\)が\(M\)のあるインテリア（内部）ポイントであった時は、\(\phi_{m'} (U_{m'})\)は、\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であることになり、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)、および\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(m'\)が\(M\)のあるバウンダリー（境界）ポイントであった時は、\(f\)のある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f': U'_{\phi_{m'} (m')} \to \mathbb{R}^d\)、ここで、\(U'_{\phi_{m'} (m')} \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）、があることになる、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq U'_{\phi_{m'} (m')}\)、を取ろう、そして、\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f' \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'})\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\phi_{m'} (U_{m'})\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(\phi_{m'} \circ \gamma_j \vert_{B_{r', \delta'}}: B_{r', \delta'} \to \phi_{m'} (U_{m'})\)はコンティニュアス（連続）であったから、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq B_{r', \delta'}\)、つまり、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)および\(\phi_{m'} \circ \gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)、があることになる。
すると、\(B_{r', \delta}\)上方にて、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = g (\phi_{m'} \circ \gamma_j (r))\)、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、であることになる、\(g\)を持って。
\(g\)はリプシッツであることになる、任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への任意の\(C^1\)マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題によって。
したがって、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）で初期コンディションを持つものに対する解のローカルユニーク性によって、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 \vert_{B_{r', \delta}} = \phi_{m'} \circ \gamma_2 \vert_{B_{r', \delta}}\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 \vert_{[r_0, r' + \delta / 2]} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r' + \delta / 2]}\)、\(r'\)がサプリマム（上限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(\gamma_1 \vert_{[r_0, \infty)} = \gamma_2 \vert_{[r_0, \infty)}\)。
ステップ4:
\(J\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でアッパーバウンダリー（上方境界）\(r_2\)を持つと仮定しよう。
ステップ5:
\(J\)はアッパーオープン（上方開）であるかもしれないしアッパークローズド（上方閉）であるかもしれない。
私たちが行なうことは、\(J\)がアッパーバウンデッド（上方有界）でないケースに平行的である。
\(r' := Sup (\{r \in J \vert r_0 \le r \land \gamma_1 \vert_{[r_0, r]} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r]}\})\)、ここで、当該サプリマム（上限）は\(\mathbb{R}\)内にて取られる、を定義しよう、それは、\(r' \in \mathbb{R}\)として存在する、なぜなら、\(J\)はアッパーバウンデッド（上方有界）である。
\(r'\)はアッパーバウンダリー（上方境界）でなかったと仮定しよう、それが意味することになるのは、\(r' \lt r_2\)。
\(r' \in Int (J)\)、\(J\)がアッパーオープン（上方開）であってもアッパークローズド（上方閉）であっても、明らかに。
\(\gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)、なぜなら、もしも、\(r' = r_0\)であった場合、\(\gamma_1 (r') = \gamma_1 (r_0) = \gamma_2 (r_0) = \gamma_2 (r')\)、そして、そうでない場合、もしも、\(\gamma_1 (r') \neq \gamma_2 (r')\)であった場合、以下を満たす、\(\gamma_1 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_1 (r')} \subseteq M\)および\(\gamma_2 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_2 (r')} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\gamma_1 (r')} \cap U_{\gamma_2 (r')} = \emptyset\)、があることになる、なぜなら、\(M\)はハウスドルフであった、そして、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq (r_0, r_2)\)、つまり、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_1 (r')}\)および\(\gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_2 (r')}\)、があることになる、なぜなら、\(\gamma_j\)はコンティニュアス（連続）であった、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \cap \gamma_2 (B_{r', \delta}) = \emptyset\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (r' - \delta / 2) \neq \gamma_2 (r' - \delta / 2)\)、\(r'\)がサプリマム（上限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(m' := \gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)としよう。
\(m'\)周りのあるチャート\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_{m'}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{m'}})\)があることになる: \(m'\)があるインテリア（内部）ポイントであった場合、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)をあるインテリア（内部）チャートとしよう; \(m'\)があるバウンダリー（境界）ポイントであった場合、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)をあるバウンダリー（境界）チャートとしよう。
\(\gamma_j \vert_J\)はコンティニュアス（連続）であり\(r' \in Int (J)\)であったから、以下を満たすあるポジティブ（正）\(\delta'\)、つまり、\(B_{r', \delta'} \subseteq J\)および\(\gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq U_{m'}\)、があることになる。すると、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)。
\(\gamma_j\)は\(s\)のあるインテグラルカーブであったから、\(B_{r', \delta'}\)上方にて、\(d \gamma_j / d r (r) = s (\gamma_j (r))\)、それは、コンポーネントたち的に、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} \circ \phi_{m'} \circ \gamma_j (r)\)、ここで、\(\pi_1: \widetilde{\phi_{m'}} (\pi^{-1} (U_{m'})) = \mathbb{R}^d \times \phi_{m'} (U_{m'}) \to \mathbb{R}^d\)は当該プロジェクション（射影）、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、で、\(f: \phi_{m'} (U_{m'}) \to \mathbb{R}^d, p \mapsto \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} (p)\)、\(C^\infty\)、なぜなら、\(s\)は\(C^\infty\)であった、を持つものであった。
\(m'\)は\(M\)のあるインテリア（内部）ポイントであった時、\(\phi_{m'} (U_{m'})\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であることになる、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)、および\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(m'\)が\(M\)のあるバウンダリー（境界）ポイントであった時、\(f\)のある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f': U'_{\phi_{m'} (m')} \to \mathbb{R}^d\)、ここで、\(U'_{\phi_{m'} (m')} \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であった、があることになる、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq U'_{\phi_{m'} (m')}\)、を取ろう、そして、\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f' \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'})\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\phi_{m'} (U_{m'})\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(\phi_{m'} \circ \gamma_j \vert_{B_{r', \delta'}}: B_{r', \delta'} \to \phi_{m'} (U_{m'})\)はコンティニュアス（連続）であったから、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq B_{r', \delta'}\)、つまり、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)および\(\phi_{m'} \circ \gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)、があることになる。
すると、\(B_{r', \delta}\)上方にて、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = g (\phi_{m'} \circ \gamma_j (r))\)、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、で\(g\)を持つものであることになる。
\(g\)はリプシッツであることになる、任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への任意の\(C^1\)マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題によって。
したがって、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）で初期コンディションを持つものに対する解のローカルユニーク性によって、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 \vert_{B_{r', \delta}} = \phi_{m'} \circ \gamma_2 \vert_{B_{r', \delta}}\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 \vert_{[r_0, r' + \delta / 2]} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r' + \delta / 2]}\)、\(r'\)がサプリマム（上限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(r'\)はアッパーバウンダリー（上方境界）である、それが意味するのは、\(r' = r_2\)。
それが意味するのは、\(\gamma_1 \vert_{[r_0, r_2)} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r_2)}\)または\(\gamma_1 \vert_{[r_0, r_2]} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r_2]}\)、\(J\)がアッパーオープン（上方開）かアッパークローズド（上方閉）であるかによって: \(\gamma_1 (r_2) = \gamma_2 (r_2)\)、なぜなら、そうでなければ、以下を満たす、\(\gamma_1 (r_2)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_1 (r_2)} \subseteq M\)および\(\gamma_2 (r_2)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_2 (r_2)} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\gamma_1 (r_2)} \cap U_{\gamma_2 (r_2)} = \emptyset\)、があることになり、以下を満たすある\((r_2 - \delta, r_2] \subseteq J\)、つまり、\(\gamma_1 ((r_2 - \delta, r_2]) \subseteq U_{\gamma_1 (r_2)}\)および\(\gamma_2 ((r_2 - \delta, r_2]) \subseteq U_{\gamma_2 (r_2)}\)、があることになる、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (r_2 - \delta / 2) \neq \gamma_2 (r_2 - \delta / 2)\)、\(\gamma_1 \vert_{[r_0, r_2)} = \gamma_2 \vert_{[r_0, r_2)}\)に反する矛盾。
ステップ6:
\(r_0\)より小さい領域に対して、ロジックは平行的である。
\(J\)はローワーバウンデッド（下方有界）でないかもしれないしローワーバウンデッド（下方有界）であるかもしれない。
\(J\)はローワーバウンデッド（下方有界）でないと仮定しよう。
ステップ7:
\(\gamma_1 \vert_{(- \infty, r_0]} \neq \gamma_2 \vert_{(- \infty, r_0]}\)であったと仮定しよう。
\(r' := Inf (\{r \in J \vert r \le r_0 \land \gamma_1 \vert_{[r, r_0]} = \gamma_2 \vert_{[r, r_0]}\})\)、ここで、当該インフィマム（下限）は\(\mathbb{R}\)内で取られた、を定義しよう、それは、\(r' \in \mathbb{R}\)として存在することになる、当該仮定によって。
\(r' \in Int (J)\)、明らかに。
\(\gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)、なぜなら、もしも、\(r' = r_0\)であった場合、\(\gamma_1 (r') = \gamma_1 (r_0) = \gamma_2 (r_0) = \gamma_2 (r')\)、そして、そうでなかった場合、もしも、\(\gamma_1 (r') \neq \gamma_2 (r')\)であったら、以下を満たす、\(\gamma_1 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_1 (r')} \subseteq M\)および\(\gamma_2 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_2 (r')} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\gamma_1 (r')} \cap U_{\gamma_2 (r')} = \emptyset\)、があることになる、なぜなら、\(M\)はハウスドルフであった、そして、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq (- \infty, r_0)\)、つまり、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_1 (r')}\)および\(\gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_2 (r')}\)、があることになる、なぜなら、\(\gamma_j\)はコンティニュアス（連続）であった、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \cap \gamma_2 (B_{r', \delta}) = \emptyset\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (r' + \delta / 2) \neq \gamma_2 (r' + \delta / 2)\)、\(r'\)はインフィマム（下限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(m' := \gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)としよう。
\(m'\)周りのあるチャート\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_{m'}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{m'}})\)があることになる: \(m'\)があるインテリア（内部）ポイントであった時は、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)をあるインテリア（内部）チャートとしよう; \(m'\)があるバウンダリー（境界）ポイントであった時は、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)は、不可避に、あるバウンダリー（境界）チャートとなる。
\(\gamma_j \vert_J\)はコンティニュアス（連続）であり\(r' \in Int (J)\)であったから、以下を満たすあるポジティブ（正）\(\delta'\)、つまり、\(B_{r', \delta'} \subseteq J\)および\(\gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq U_{m'}\)、があることになる。すると、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)。
\(\gamma_j\)は\(s\)のあるインテグラルカーブであったから、\(B_{r', \delta'}\)上方にて、\(d \gamma_j / d r (r) = s (\gamma_j (r))\)、それは、コンポーネントたち的には、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} \circ \phi_{m'} \circ \gamma_j (r)\)、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、で、\(f: \phi_{m'} (U_{m'}) \to \mathbb{R}^d, p \mapsto \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} (p)\)、\(C^\infty\)、なぜなら、\(s\)は\(C^\infty\)であった、を持つものになる
\(m'\)が\(M\)のあるインテリア（内部）ポイントであった時は、\(\phi_{m'} (U_{m'})\)は、\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であることになり、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)、および\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(m'\)が\(M\)のあるバウンダリー（境界）ポイントであった時は、\(f\)のある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f': U'_{\phi_{m'} (m')} \to \mathbb{R}^d\)、ここで、\(U'_{\phi_{m'} (m')} \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）、があることになる、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq U'_{\phi_{m'} (m')}\)、を取ろう、そして、\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f' \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'})\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\phi_{m'} (U_{m'})\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(\phi_{m'} \circ \gamma_j \vert_{B_{r', \delta'}}: B_{r', \delta'} \to \phi_{m'} (U_{m'})\)はコンティニュアス（連続）であったから、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq B_{r', \delta'}\)、つまり、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)および\(\phi_{m'} \circ \gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)、があることになる。
すると、\(B_{r', \delta}\)上方にて、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = g (\phi_{m'} \circ \gamma_j (r))\)、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、であることになる、\(g\)を持って。
\(g\)はリプシッツであることになる、任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への任意の\(C^1\)マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題によって。
したがって、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）で初期コンディションを持つものに対する解のローカルユニーク性によって、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 \vert_{B_{r', \delta}} = \phi_{m'} \circ \gamma_2 \vert_{B_{r', \delta}}\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 \vert_{[r' - \delta / 2, r_0]} = \gamma_2 \vert_{[r' - \delta / 2, r_0]}\)、\(r'\)がインフィマム（下限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(\gamma_1 \vert_{(- \infty, r_0]} = \gamma_2 \vert_{(- \infty, r_0]}\)。
ステップ8:
\(J\)はローワーバウンデッド（下方有界）でローワーバウンダリー（下方境界）\(r_1\)を持つと仮定しよう。
ステップ9:
\(J\)はローワーオープン（下方開）であるかもしれないしローワークローズド（下方閉）であるかもしれない。
私たちが行なうことは、\(J\)がローワーバウンデッド（下方有界）でないケースに平行的である。
\(r' := Inf (\{r \in J \vert r \le r_0 \land \gamma_1 \vert_{[r, r_0]} = \gamma_2 \vert_{[r, r_0]}\})\)、ここで、当該インフィマム（下限）は\(\mathbb{R}\)内にて取られる、を定義しよう、それは、\(r' \in \mathbb{R}\)として存在する、なぜなら、\(J\)はローワーバウンデッド（下方有界）である。
\(r'\)はローワーバウンダリー（下方境界）でなかったと仮定しよう、それが意味することになるのは、\(r_1 \lt r'\)。
\(r' \in Int (J)\)、\(J\)がローワーオープン（下方開）であってもローワークローズド（下方閉）であっても、明らかに。
\(\gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)、なぜなら、もしも、\(r' = r_0\)であった場合、\(\gamma_1 (r') = \gamma_1 (r_0) = \gamma_2 (r_0) = \gamma_2 (r')\)、そして、そうでない場合、もしも、\(\gamma_1 (r') \neq \gamma_2 (r')\)であった場合、以下を満たす、\(\gamma_1 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_1 (r')} \subseteq M\)および\(\gamma_2 (r')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_2 (r')} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\gamma_1 (r')} \cap U_{\gamma_2 (r')} = \emptyset\)、があることになる、なぜなら、\(M\)はハウスドルフであった、そして、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq (r_1, r_0)\)、つまり、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_1 (r')}\)および\(\gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq U_{\gamma_2 (r')}\)、があることになる、なぜなら、\(\gamma_j\)はコンティニュアス（連続）であった、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (B_{r', \delta}) \cap \gamma_2 (B_{r', \delta}) = \emptyset\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (r' + \delta / 2) \neq \gamma_2 (r' + \delta / 2)\)、\(r'\)がインフィマム（下限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(m' := \gamma_1 (r') = \gamma_2 (r')\)としよう。
\(m'\)周りのあるチャート\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_{m'}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{m'}})\)があることになる: \(m'\)があるインテリア（内部）ポイントであった場合、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)をあるインテリア（内部）チャートとしよう; \(m'\)があるバウンダリー（境界）ポイントであった場合、\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)をあるバウンダリー（境界）チャートとしよう。
\(\gamma_j \vert_J\)はコンティニュアス（連続）であり\(r' \in Int (J)\)であったから、以下を満たすあるポジティブ（正）\(\delta'\)、つまり、\(B_{r', \delta'} \subseteq J\)および\(\gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq U_{m'}\)、があることになる。すると、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (B_{r', \delta'}) \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)。
\(\gamma_j\)は\(s\)のあるインテグラルカーブであったから、\(B_{r', \delta'}\)上方にて、\(d \gamma_j / d r (r) = s (\gamma_j (r))\)、それは、コンポーネントたち的に、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} \circ \phi_{m'} \circ \gamma_j (r)\)、ここで、\(\pi_1: \widetilde{\phi_{m'}} (\pi^{-1} (U_{m'})) = \mathbb{R}^d \times \phi_{m'} (U_{m'}) \to \mathbb{R}^d\)は当該プロジェクション（射影）、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、で、\(f: \phi_{m'} (U_{m'}) \to \mathbb{R}^d, p \mapsto \pi_1 \circ \widetilde{\phi_{m'}} \circ s \circ {\phi_{m'}}^{- 1} (p)\)、\(C^\infty\)、なぜなら、\(s\)は\(C^\infty\)であった、を持つものであった。
\(m'\)は\(M\)のあるインテリア（内部）ポイントであった時、\(\phi_{m'} (U_{m'})\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であることになる、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq \phi_{m'} (U_{m'})\)、および\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(m'\)が\(M\)のあるバウンダリー（境界）ポイントであった時、\(f\)のある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f': U'_{\phi_{m'} (m')} \to \mathbb{R}^d\)、ここで、\(U'_{\phi_{m'} (m')} \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\mathbb{R}^d\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であった、があることになる、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって、そして、以下を満たす任意の\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(\overline{B_{\phi_{m'} (m'), K}} \subseteq U'_{\phi_{m'} (m')}\)、を取ろう、そして、\(g: B_{\phi_{m'} (m'), K} \to \mathbb{R}^d = f' \vert_{B_{\phi_{m'} (m'), K}}\)を取ろう。
\(B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'})\)は\(\phi_{m'} (m')\)の\(\phi_{m'} (U_{m'})\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(\phi_{m'} \circ \gamma_j \vert_{B_{r', \delta'}}: B_{r', \delta'} \to \phi_{m'} (U_{m'})\)はコンティニュアス（連続）であったから、以下を満たすある\(B_{r', \delta} \subseteq B_{r', \delta'}\)、つまり、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)および\(\phi_{m'} \circ \gamma_2 (B_{r', \delta}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K} \cap \phi_{m'} (U_{m'}) \subseteq B_{\phi_{m'} (m'), K}\)、があることになる。
すると、\(B_{r', \delta}\)上方にて、\(\partial_1 (\phi_{m'} \circ \gamma_j) (r) = g (\phi_{m'} \circ \gamma_j (r))\)、初期コンディション\(\phi_{m'} \circ \gamma_j (r') = \phi_{m'} (m')\)を持って、それは、\(\phi_{m'} \circ \gamma_j\)に対するオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション付き、で\(g\)を持つものであることになる。
\(g\)はリプシッツであることになる、任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への任意の\(C^1\)マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題によって。
したがって、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）で初期コンディションを持つものに対する解のローカルユニーク性によって、\(\phi_{m'} \circ \gamma_1 \vert_{B_{r', \delta}} = \phi_{m'} \circ \gamma_2 \vert_{B_{r', \delta}}\)、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 \vert_{[r' - \delta / 2, r_0]} = \gamma_2 \vert_{[r' - \delta / 2, r_0]}\)、\(r'\)はインフィマム（下限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(r'\)はローワーバウンダリー（下方境界）である、それが意味するのは、\(r' = r_1\)。
それが意味するのは、\(\gamma_1 \vert_{(r_1, r_0]} = \gamma_2 \vert_{(r_1, r_0]}\)または\(\gamma_1 \vert_{[r_1, r_0]} = \gamma_2 \vert_{[r_1, r_0]}\)、\(J\)がローワーオープン（下方開）かローワークローズド（下方閉）であるかによって: \(\gamma_1 (r_1) = \gamma_2 (r_1)\)、なぜなら、そうでなければ、以下を満たす、\(\gamma_1 (r_1)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_1 (r_1)} \subseteq M\)および\(\gamma_2 (r_1)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\gamma_2 (r_1)} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\gamma_1 (r_1)} \cap U_{\gamma_2 (r_1)} = \emptyset\)、があることになり、以下を満たすある\([r_1, r_1 + \delta) \subseteq J\)、つまり、\(\gamma_1 ([r_1, r_1 + \delta)) \subseteq U_{\gamma_1 (r_1)}\)および\(\gamma_2 ([r_1, r_1 + \delta)) \subseteq U_{\gamma_2 (r_1)}\)、があることになる、それが意味することになるのは、\(\gamma_1 (r_1 + \delta / 2) \neq \gamma_2 (r_1 + \delta / 2)\)、\(\gamma_1 \vert_{(r_1, r_0]} = \gamma_2 \vert_{(r_1, r_0]}\)に反する矛盾。
ステップ10:
したがって、\(\gamma_1 \vert_J = \gamma_2 \vert_J\)。
