トポロジカルスペース（空間）に対して、パスコネクテッド（連結された）コンポーネントはコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントは対応するコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのパスコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\}\)
\(C'\): \(\in \{T \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\}\)で、任意の固定された\(c \in C\)に対して、\(c \in C'\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(C \subseteq C'\)
//
2: 注
\(C'\)はユニークに決定される、本命題によって、なぜなら、\(\widetilde{c} \in C\)に基づいて取られた任意の他の\(\widetilde{C'}\)に対して、\(C \subseteq \widetilde{C'}\)が意味するのは、\(c \in \widetilde{C'}\)、したがって、\(\widetilde{C'}\)は\(c \in \widetilde{C'}\)を満たすコネクテッド（連結された）コンポーネントであり、それは、\(C'\)である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C\)はあるパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: \(C\)はあるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ3: \(C \subseteq C'\)であることを見る。
ステップ1:
\(C\)はあるパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題によって。
ステップ2:
\(C\)はあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題によって。
ステップ3:
したがって、各\(c' \in C\)に対して、\(c\)および\(c'\)はコネクテッド（連結された）である、なぜなら、それらはコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）\(C\)内に包含されている、それが意味するのは、\(C \subseteq C'\)。
