パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
\(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。
以下を満たす何らかの非空オープンサブセット（開部分集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(T = U_1 \cup U_2\)および\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、があることになる。
\(t_1 \in U_1\)および\(t_2 \in U_2\)を任意のものとしよう、それは、可能であることになる、なぜなら、\(U_1\)および\(U_2\)は非空であった。
以下を満たすあるパス\(\gamma: [0, 1] \to T\)、つまり、\(\gamma (0) = t_1\)および\(\gamma (1) = t_2\)、があることになる。
\(\gamma^{-1} (T) = [0, 1]\)、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題によって。
しかし、\(\gamma^{-1} (T) = \gamma^{-1} (U_1 \cup U_2) = \gamma^{-1} (U_1) \cup \gamma^{-1} (U_2)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、ここで、\(\gamma^{-1} (U_1) \cap \gamma^{-1} (U_2) = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって、\(\gamma^{-1} (U_1), \gamma^{-1} (U_2) \subseteq [0, 1]\)はオープン（開）であった、なぜなら、\(\gamma\)はコンティニュアス（連続）であり、\(\gamma^{-1} (U_1)\)および\(\gamma^{-1} (U_2)\)は非空であった、なぜなら、\(0 \in \gamma^{-1} (U_1)\)および\(1 \in \gamma^{-1} (U_2)\)、それが意味することになるのは、\([0, 1]\)はコネクテッド（連結された）でなかったということ。
しかし、\([0, 1]\)はあるコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）であった、\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）であるという命題によって、矛盾。
したがって、\(T\)はコネクテッド（連結された）である。
