ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）に対して、パスコネクテッド（連結された）コンポーネントはコネクテッド（連結された）コンポーネントであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルコネクテッド（連結された）コンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルパスコネクテッド（連結された）コンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントは対応するコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されるという命題を認めている。
- 読者は、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペースおよび当該ベーススペース上の必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペースに対して、当該サブスペースの任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントはあるコネクテッド（連結された）コンポーネントであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのパスコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\}\)
\(C'\): \(\in \{\text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち } T\}\)で、任意の固定された\(c \in C\)に対して\(c \in C'\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(C = C'\)
//
2: 注
\(C'\)はユニークに決定される、本命題によって、なぜなら、\(\widetilde{c} \in C\)に基づいて取られた任意の他の\(\widetilde{C'}\)に対して、\(C = \widetilde{C'}\)が意味するのは、\(c \in \widetilde{C'}\)、したがって、\(\widetilde{C'}\)は、\(c \in \widetilde{C'}\)を満たすコネクテッド（連結された）コンポーネントである、それは、\(C'\)である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C \subseteq C'\)であることを見る; ステップ2: \(C \subset C'\)であると仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
\(C \subseteq C'\)、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントは対応するコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されるという命題によって。
ステップ2:
\(C \subset C'\)であると仮定しよう。
各\(c' \in C'\)に対して、\(c' \in C_{c'}\)を満たすパスコネクテッド（連結された）コンポーネント\(C_{c'} \subseteq T\)があることになる。
\(C_{c'} \subseteq C'\)、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントは対応するコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されるという命題によって。
\(C_{c'}\)は\(T\)上においてオープン（開）であることになる、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であるという命題によって。
\(C_{c'}\)は\(C'\)上においてオープン（開）であることになる、任意のトポロジカルスペースおよび当該ベーススペース上の必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペースに対して、当該サブスペースの任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、という命題によって。
したがって、\(C'\)の何らかのオープンサブセット（開部分集合）たちのセット（集合）\(S := \{C_{c'} \vert c' \in C'\}\)、その中に、\(C\)が含まれていることになる、があることになる。
全てのパスコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは何らかのイクイバレンス（同値）クラスたちであったから、任意の2個のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは、同一であるかディスジョイント（互いに素）であることになる。
したがって、\(S \setminus \{C\}\)は非空であり\(C \cap \cup (S \setminus \{C\}) = \emptyset\)であることになる。
\(\cup (S \setminus \{C\})\)は\(C'\)上においてオープン（開）であることになる、なぜなら、それは、何らかのオープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）であることになる。
\(C' = \cup S = C \cup \cup (S \setminus \{C\})\)。
それが意味することになるのは、\(C'\)はコネクテッド（連結された）でなかったということ、矛盾: 任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題を参照のこと。
したがって、\(C = C'\)。
