メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、ポイントたちシーケンス（列）は、ポイントへコンバージ（収束）する、メトリックスペース（計量付き空間）上のものとして、もしも、それがポイントへコンバージ（収束）する、トポロジカルスペース（空間）上のものとして、場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意のポイントたちシーケンス（列）は、任意のポイントへコンバージ（収束）する、当該メトリックスペース（計量付き空間）上のものとして、もしも、当該シーケンス（列）が当該ポイントへコンバージ（収束）する、当該トポロジカルスペース（空間）上のものとして、場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(s\): \(: \mathbb{N} \to M\)
\(m\): \(\in M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \text{ は } m \text{ へコンバージ（収束）する、 } M \text{ を当該メトリックスペース（計量付き空間）として }\)
\(\iff\)
\(s \text{ は } m \text{ へコンバージ（収束）する、 } M \text{ を当該トポロジカルスペース（空間）として }\)
//
2: 注
メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントたちシーケンス（列）のコンバージェンス（収束）とトポロジカルスペース（空間）上のポイントたちシーケンス（列）のコンバージェンス（収束）（それは、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束）である: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントたちシーケンス（列）はあるダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットである）は、独立した定義たちを持っている。
任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの上にて、それらは一致するのか？本命題は、イエスと言う。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該メトリックスペース（計量付き空間）として、と仮定する; ステップ2: \(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該トポロジカルスペース（空間）として、ことを見る; ステップ3: \(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該トポロジカルスペース（空間）として、と仮定する; ステップ4: \(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該メトリックスペース（計量付き空間）として、ことを見る。
ステップ1:
\(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該メトリックスペース（計量付き空間）として、と仮定しよう。
ステップ2:
\(N_m \subseteq M\)を\(m\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(m\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq M\)、つまり、\(U_m \subseteq N_m\)、がある。
以下を満たすある\(B_{m, \epsilon} \subseteq M\)、つまり、\(B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\)、がある、なぜなら、当該トポロジーは当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）である。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (j) \in B_{m, \epsilon}\)、がある。
したがって、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (j) \in B_{m, \epsilon} \subseteq U_m \subseteq N_m\)。
したがって、\(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該トポロジカルスペース（空間）として。
ステップ3:
\(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該トポロジカルスペース（空間）として、と仮定しよう。
ステップ4:
\(B_{m, \epsilon} \subseteq M\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(B_{m, \epsilon}\)は\(m\)のあるネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、当該トポロジーは当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）である。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (j) \in B_{m, \epsilon}\)、がある。
それが意味するのは、\(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、\(M\)を当該メトリックスペース（計量付き空間）として。
