トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、各ポイントに対して、1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）でありポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）がポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、当該スペース（空間）の各ポイントに対して、当該1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であり当該ポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）が当該ポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall t \in T (\{t\} \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \land S_t := \{t \text{ の全てのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たち }\} \in \{t \text{ における全てのネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 注
\(T\)がハウスドルフである時は、各\(\{t\}\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、したがって、任意のハウスドルフ\(T\)はレギュラー（正則）である、もしも、\(S_t\)が\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はレギュラー（正則）であると仮定する; ステップ2: \(\{t\}\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）であり\(S_t\)は\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: \(\{t\}\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）であり\(S_t\)は\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であると仮定する; ステップ4: \(T\)はレギュラー（正則）であることを見る。
ステップ1:
\(T\)はレギュラー（正則）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(\{t\}\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）である、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義によって。
\(N_t \subseteq T\)を\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \subseteq N_t\)、がある。
\(T \setminus U_t \subseteq T\)はクローズド（閉）であり\(t \notin T \setminus U_t\)。
\(T\)はレギュラー（正則）であるから、以下を満たす、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_t \subseteq T\)および\(T \setminus U_t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_{T \setminus U_t} \subseteq T\)、つまり、\(V_t \cap V_{T \setminus U_t} = \emptyset\)、がある。
すると、\(t \in T \setminus V_{T \setminus U_t} \subseteq U_t \subseteq N_t\)、なぜなら、\(t \notin V_{T \setminus U_t}\)であるから、\(t \in T \setminus V_{T \setminus U_t}\)、そして、\(T \setminus V_{T \setminus U_t} \subseteq T \setminus (T \setminus U_t) = U_t\)。
そして、\(V_t \subseteq T \setminus V_{T \setminus U_t}\)。
したがって、\(T \setminus V_{T \setminus U_t} \in S_t\)。
したがって、\(S_t\)は\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である。
ステップ3:
各\(t \in T\)に対して、\(\{t\}\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）であり\(S_t\)は\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、つまり、\(t \notin C\)、としよう。
\(T \setminus C \subseteq T\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(t \in T \setminus C\)。
以下を満たすある\(C_t \in S_t\)、つまり、\(C_t \subseteq T \setminus C\)、がある、当該仮定によって。
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \subseteq C_t\)、がある。
\(T \setminus C_t \subseteq T\)は\(C\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(C \subseteq T \setminus C_t\)、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \notin T \setminus C\)、したがって、\(c \notin C_t\)、したがって、\(c \in T \setminus C_t\)。
\(U_t \cap (T \setminus C_t) = \emptyset\)、なぜなら、各\(u \in U_t\)に対して、\(u \in C_t\)、したがって、\(u \notin T \setminus C_t\)。
したがって、\(T\)はレギュラー（正則）である。
