レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはレギュラー（正則）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、当該スペース（空間）の各ポイントに対して、当該1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であり当該ポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）が当該ポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それが任意のクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、そして、特に、サブセット（部分集合）たちの内の1つのみがスペース（空間）全体でない場合のみ、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはレギュラー（正則）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} T_j \in \{\text{ 全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のトポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、当該スペース（空間）の各ポイントに対して、当該1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であり当該ポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）が当該ポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: 各\(t \in \times_{j \in J} T_j\)に対して、\(\{t\}\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）であることを見る; ステップ2: 各\(t \in \times_{j \in J} T_j\)に対して、\(t\)の全てのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）は\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(j \in J\)に対して、\(T_j\)はハウスドルフである、なぜなら、以下を満たす各\(t_j, t'_j \in T_j\)、つまり、\(t_j \neq t'_j\)、に対して、\(\{t'_j\}\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）であり、以下を満たす、\(t_j\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_j} \subseteq T_j\)および\(\{t'_j\}\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、それは、\(t'_j\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、\(U_{t'_j} \subseteq T_j\)、つまり、\(U_{t_j} \cap U_{t'_j} = \emptyset\)、がある。
したがって、\(\times_{j \in J} T_j\)はハウスドルフである、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフであるという命題によって。
各\(t \in \times_{j \in J} T_j\)に対して、\(\{t\}\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
ステップ2:
各\(t \in \times_{j \in J} T_j\)に対して、\(t\)の全てのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）\(S_t\)は\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であることを見よう。
\(N_t \subseteq \times_{j \in J} T_j\)を\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たす、あるファイナイト（有限）\(J^` \subseteq J\)および\(\{U_{t^j} \in \{t^j \text{ の } T_j \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} \vert j \in J^`\}\)、つまり、\(\times_{j \in J} U_{t^j}\)、ここで、\(U_{t^j} := T_j\)、各\(j \in J \setminus J^`\)に対して、は\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、つまり、\(\times_{j \in J} U_{t^j} \subseteq N_t\)、がある、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題によって。
各\(j \in J^`\)に対して、\(t^j\)の以下を満たすあるクローズドネイバーフッド（閉近傍）\(C_{t^j} \subset T_j\)、つまり、\(C_{t^j} \subseteq U_{t^j}\)、がある、任意のトポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、当該スペース（空間）の各ポイントに対して、当該1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であり当該ポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）が当該ポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、なぜなら、\(T_j\)はレギュラー（正則）である。
各\(j \in J \setminus J^`\)に対して、\(t^j\)のクローズドネイバーフッド（閉近傍）\(C_{t^j} := T_j\)、それは、\(C_{t^j} = T_j \subseteq T_j = U_{t^j}\)を満たす、を取る。
\(\times_{j \in J} C_{t^j} \subseteq \times_{j \in J} T_j\)は\(t\)のあるクローズドネイバーフッド（閉近傍）であることを見よう。
\(t \in \times_{j \in J} C_{t^j}\)。
\(\times_{j \in J} C_{t^j}\)はクローズド（閉）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それが任意のクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、そして、特に、サブセット（部分集合）たちの内の1つのみがスペース（空間）全体でない場合のみ、という命題によって。
各\(j \in J^`\)に対して、\(t^j\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_{t^j} \subseteq C_{t^j}\)がある、なぜなら、\(C_{t^j}\)は\(t^j\)のあるネイバーフッド（近傍）である。
各\(j \in J \setminus J^`\)に対して、\(t^j\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_{t^j} := T_j\)、それは、\(V_{t^j} = T_j \subseteq T_j = C_{t^j}\)を満たす、を取ろう。
すると、\(t \in \times_{j \in J} V_{t^j} \subseteq \times_{j \in J} C_{t^j}\)、ここで、\(\times_{j \in J} V_{t^j} \subseteq \times_{j \in J} T_j\)はオープン（開）である。
したがって、\(\times_{j \in J} C_{t^j}\)は\(t\)のあるクローズドネイバーフッド（閉近傍）である。
したがって、\(\times_{j \in J} C_{t^j} \in S_t\)。
\(\times_{j \in J} C_{t^j} \subseteq \times_{j \in J} U_{t^j} \subseteq N_t\)。
したがって、\(S_t\)は\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である。
ステップ3:
したがって、任意のトポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、当該スペース（空間）の各ポイントに対して、当該1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であり当該ポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）が当該ポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(\times_{j \in J} T_j\)はレギュラー（正則）である。
