プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびポイントのネイバーフッド（近傍）に対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）でネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(t\): \(\in \times_{j \in J} T_j\)
\(N_t\): \(\in \{t \text{ の } \times_{j \in J} T_j \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists J^` \subseteq J \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}, \exists \{U_{t^j} \in \{t^j \text{ の } T_j \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} \vert j \in J^`\} (\times_{j \in J} U_{t^j} \in \{t \text{ の } \times_{j \in J} T_j\} \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち } \text{ 、ここで、 } U_{t^j} := T_j \text{ 、各 } j \in J \setminus J^` \text{ に対して、 } \land \times_{j \in J} U_{t^j} \subseteq N_t)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq N_t\)を取り、\(U_t = \cup_{l \in L} \times_{j \in J} U_{l, j}\)であることを見る; ステップ2: 以下を満たすある\(\times_{j \in J} U_{l, j}\)、つまり、\(t \in \times_{j \in J} U_{l, j}\)、を選ぶ。
ステップ1:
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq \times_{j \in J} T_j\)、つまり、\(U_t \subseteq N_t\)、がある、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義によって。
\(U_t = \cup_{l \in L} \times_{j \in J} U_{l, j}\)、ここで、\(L\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）で\(U_{l, j} \subseteq T_j\)は以下を満たすオープン（開）、つまり、各\(l \in L\)に対して、\(U_{l, j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(T_j\)たちでない、である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
ステップ2:
\(t \in U_t\)であるから、\(t \in \times_{j \in J} U_{l, j}\)、ある\(l \in L\)に対して。
それが意味するのは、各\(j \in J\)に対して、\(j\)-コンポーネントは\(t^j \in U_{l, j}\)であること。
したがって、\(U_{l, j}\)は\(t^j\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
各\(j \in J\)に対して、\(U_{t^j} := U_{l, j}\)を定義しよう。
以下を満たす\(J^` \subseteq J\)、つまり、各\(j \in J^`\)に対して、\(U_{t^j} \subset T_j\)、そして、各\(j \in J \setminus J^`\)に対して、\(U_{t^j} = T_j\)、がある: \(J^`\)は空かもしれない。
\(J^`\)はファイナイト（有限）である。
\(t \in \times_{j \in J} U_{t^j}\)。
\(\times_{j \in j} U_{t^j} \subseteq \times_{j \in J} T_j\)はオープン（開）である: \(U_{t^j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(T_j\)たちでない。
したがって、\(U_{t^j}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(\times_{j \in j} U_{t^j} = \times_{j \in j} U_{l, j} \subseteq \cup_{l \in L} \times_{j \in J} U_{l, j} \subseteq U_t \subseteq N_t\)。
