プロダクトトポロジカルスペース（空間）および構成要素で他の構成要素たちがコンパクトであるものに対して、構成要素の上へのプロジェクション（射影）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）からサブプロダクトセット（集合）の上へのプロジェクション（射影）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドマップ（閉写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および当該インデックスセット（集合）の任意のパーティションに対して、当該プロダクトスペース（空間）は、分割されたインデックスセット（集合）たちを持つサブプロダクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトである（ティチョノフ定理）という命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意の構成要素で他の構成要素たちがコンパクトであるものに対して、当該構成要素の上へのプロジェクション（射影）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(j_0\): \(\in J\)
\(\pi^{j_0}\): \(: \times_{j \in J} T_j \to T_{j_0}\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J \setminus \{j_0\} (T_j \in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\})\)
\(\implies\)
\(\pi^{j_0} \in \{\text{ 全てのクローズドマップ（閉写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のクローズド（閉）\(C \subseteq \times_{j \in J} T_j\)を取り、\(T_{j_0} \setminus \pi^{j_0} (C)\)がオープン（開）であることを見る、ホメオモーフィック（位相同形写像）\(f: \times_{j \in J} T_j \to (\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}\)を使って。
ステップ1:
\(C \subseteq \times_{j \in J} T_j\)を任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\(T_{j_0} \setminus \pi^{j_0} (C) \subseteq T_{j_0}\)はオープン（開）であることを見よう。
\(t_{j_0} \in T_{j_0} \setminus \pi^{j_0} (C)\)を任意のものとしよう。
\(f: \times_{j \in J} T_j \to (\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}, \times_{j \in J} t_j \mapsto (\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} t_j) \times t_{j_0}\)を取ろう、それは、あるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および当該インデックスセット（集合）の任意のパーティションに対して、当該プロダクトスペース（空間）は、分割されたインデックスセット（集合）たちを持つサブプロダクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって。
各\(s \in \times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j\)に対して、\((s, t_{j_0}) \notin f (C)\)、したがって、\((s, t_{j_0}) \in ((\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}) \setminus f (C)\)、なぜなら、もしも、ある\((s, t_{j_0}) \in f (C)\)があったら、\(f^{-1} ((s, t_{j_0})) \in C\)、そして、\(\pi^{j_0} (f^{-1} ((s, t_{j_0}))) = t_{j_0} \in \pi^{j_0} (C)\)、矛盾。
\(f (C) \subseteq (\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\(f\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(((\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}) \setminus f (C) \subseteq (\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}\)はオープン（開）である。
各\(s \in \times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j\)に対して、\((s, t_{j_0})\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(s, t_{j_0})} \subseteq (\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}\)、つまり、\(U_{(s, t_{j_0})} \subseteq ((\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}) \setminus f (C)\)、がある、オープン（開）であることのローカル基準によって、そして、以下を満たす、\(s\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_s \subseteq \times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j\)および\(t_{j_0}\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_{j_0}, s} \subseteq T_{j_0}\)、つまり、\(U_s \times U_{t_{j_0}, s} \subseteq U_{(s, t_{j_0})} \subseteq ((\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}) \setminus f (C)\)、がある、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題によって。
\(\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j\)はコンパクトである、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトである（ティチョノフ定理）という命題によって。
\(\{U_s \vert s \in \times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j\}\)は\(\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{s_l} \vert l \in L\}\)がある。
\(U_{t_{j_0}} := \cap_{l \in L} U_{j_0, s_l}\)としよう、それは、\(t_{j_0}\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、あるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
\(U_{t_{j_0}} \subseteq T_{j_0} \setminus \pi^2 (f (C))\)、ここで、\(\pi^2: (\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0} \to T_{j_0}\)は当該プロジェクション（射影）、である、なぜなら、各\(u \in U_{t_{j_0}}\)に対して、各\(s \in \times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j\)に対して、, \(s \in U_{s_l}\)、ある\(l \in L\)に対して、\(u \in U_{t_{j_0}} \subseteq U_{t_{j_0}, s_l}\)、そして、\(U_{s_l} \times U_{t_{j_0}, s_l} \subseteq ((\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}) \setminus f (C)\)、したがって、\(U_{s_l} \cap U_{t_{j_0}} \subseteq ((\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}) \setminus f (C)\)、したがって、\((s, u) \in ((\times_{j \in J \setminus \{j_0\}} T_j) \times T_{j_0}) \setminus f (C)\)、それが意味するのは、\(u \notin \pi^2 (f (C))\)、したがって、\(u \in T_{j_0} \setminus \pi^2 (f (C))\)。
しかし、\(\pi^2 (f (C)) = \pi^{j_0} (C)\)、なぜなら、各\(\pi^2 (f (c)) = c^{j_0} \in \pi^2 (f (C))\)に対して、\(c^{j_0} = \pi^{j_0} (c) \in \pi^{j_0} (C)\); 各\(\pi^{j_0} (c) = c^{j_0} \in \pi^{j_0} (C)\)に対して、\(c^{j_0} = \pi^2 (f (c)) \in \pi^2 (f (C))\)。
したがって、\(U_{t_{j_0}} \subseteq T_{j_0} \setminus \pi^{j_0} (C)\)。
したがって、\(T_{j_0} \setminus \pi^{j_0} (C) \subseteq T_{j_0}\)はオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。
したがって、\(\pi^{j_0} (C) \subseteq T_{j_0}\)はクローズド（閉）である。
したがって、\(\pi^{j_0}\)はクローズド（閉）である。
