トポロジカルスペース（空間）からプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各コンポーネントマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）からサブプロダクトセット（集合）の上へのプロジェクション（射影）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各コンポーネントマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_{2, j} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_{2, j}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T_1 \to \times_{j \in J} T_{2, j}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall j \in J (\pi^j \circ f: T_1 \to T_j \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\})\)、ここで、\(\pi^j: \times_{l \in J} T_{2, l} \to T_{2, j}\)は当該プロジェクション（射影）である
//
2: 注
任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題が既に証明されているところ、実のところ、当該プロダクトはファイナイト（有限）である必要はない、本命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定する; ステップ2: \(\pi^j \circ f\)はコンティニュアス（連続）であることを見る、コンティニュアスマップ（連続写像）たちのコンポジション（合成）として; ステップ3: \(\pi^j \circ f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定する; ステップ4: \(f\)はコンティニュアス（連続）であることを見る、\(f\)は各\(t \in T_1\)においてコンティニュアス（連続）であることを見ることによって。
ステップ1:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ2:
各\(j \in J\)に対して、\(\pi^j\)はコンティニュアス（連続）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(\pi^j \circ f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
ステップ3:
各\(j \in J\)に対して、\(\pi^j \circ f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(t \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(f\)は\(t\)においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(U_{f (t)} \subseteq \times_{j \in J} T_{2, j}\)を\(f (t)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
以下を満たす、あるファイナイト（有限）\(J^` \subseteq J\)および\(f (t)^j\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (t)^j} \subseteq T_{2, j}\)、各\(j \in J^`\)に対して、および\(U_{f (t)^j} := T_{2, j}\)、各\(j \in J \setminus J^`\)に対して、つまり、\(\times_{j \in J} U_{f (t)^j} \subseteq \times_{j \in J} T_{2, j}\)は\(f (t)\)の以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）である、つまり、\(\times_{j \in J} U_{f (t)^j} \subseteq U_{f (t)}\)、がある、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題によって。
各\(j \in J^`\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, j} \subseteq T_1\)、つまり、\(\pi^j \circ f (U_{t, j}) \subseteq U_{f (t)^j}\)、がある、なぜなら、\(\pi^j \circ f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(U_t := \cap_{j \in J^`} U_{t, j}\)を取ろう、それは、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、オープンネイバーフッド（開近傍）たちのあるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
すると、\(f (U_t) \subseteq \times_{j \in J} U_{f (t)^j} \subseteq U_{f (t)}\)、なぜなら、各\(t' \in U_t\)に対して、各\(j \in J^`\)に対して、\(f (t')^j = \pi^j \circ f (t') \in U_{f (t)^j}\)、なぜなら、\(t' \in U_t \subseteq U_{t, j}\)、そして、各\(j \in J \setminus J^`\)に対して、\(f (t')^j = \pi^j \circ f (t') \in T_{2, j} = U_{f (t)^j}\)。
したがって、\(f\)は\(t\)においてコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
