トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、各、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットがコンバージェント（収束する）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットの定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットはあるユニバーサルサブネットを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでイベンチュアル（最終的）に任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）内にあり当該スペース（空間）上でコンバージ（収束）するものに対して、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）の中への各、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットがコンバージェント（収束する）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall f \in \{T \text{ の中への全ての、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）たちによるユニバーサルネットたち }\} (f \in \{\text{ 全てのコンバージェント（収束する）ネットたち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はコンパクトであると仮定する; ステップ2: \(f\)はコンバージ（収束）しなかったと仮定し、ある矛盾を見つける; ステップ3: 各ユニバーサルネットはコンバージ（収束）すると仮定する; ステップ4: クローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションでメンバーたちの各ファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）が空でないもの各々に対して、当該コレクションのインターセクション（共通集合）は空でないことを見る; ステップ5: 任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する。
ステップ1:
\(T\)はコンパクトであると仮定しよう。
ステップ2:
あるユニバーサルネット\(f: D \to T\)はコンバージ（収束）しなかったと仮定しよう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(t\)は\(f\)のコンバージェンス（収束ポイント）ではないことになる、なぜなら、\(f\)はいかなるコンバージェンス（収束ポイント）も持っていなかった。
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(f\)はイベンチュアル（最終的）に\(U_t\)内にありはしなかった、があることになる、なぜなら、そうでなければ、\(f\)はイベンチュアル（最終的）に\(t\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）内にあることになる、それが意味することになるのは、\(t\)は\(f\)のあるコンバージェンス（収束ポイント）であったということ、矛盾。
\(f\)はイベンチュアル（最終的）に\(T \setminus U_t\)内にあることになる、なぜなら、\(f\)はユニバーサルであった。
したがって、以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、\(d \le d'\)を満たす各\(d' \in D\)に対して、\(f (d') \in T \setminus U_t\)、したがって、\(f (d') \notin U_t\)、があることになる。
\(\{U_t \vert t \in T\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）であることになる。
あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{t_j} \vert j \in J\}\)、があることになる、なぜなら、\(T\)はコンパクトであった。\(J = \{1, ..., n\}\)としよう、一般性を失なうことなく。
各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(d_j \in D\)、つまり、\(d_j \le d'\)を満たす各\(d' \in D\)に対して、\(f (d') \notin U_{t_j}\)、があることになる。
以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、\(d_1, ..., d_n \le d\)、があることになる: 以下を満たすある\(d_{1, 2} \in D\)、つまり、\(d_1, d_2 \le d_{1, 2}\)、があることになる、以下を満たすある\(d_{1, 2, 3} \in D\)、つまり、\(d_{1, 2}, d_3 \le d_{1, 2, 3}\)、があることになる、それが含意するのは、\(d_1, d_2, d_3 \le d_{1, 2, 3}\)、等々と続く、そして、\(d := d_{1, ..., n}\)でよいだろう。
すると、\(d \le d'\)を満たす各\(d' \in D\)に対して、\(f (d') \notin U_{t_1}, ..., U_{t_n}\)、したがって、\(f (d') \notin U_{t_1} \cup ... \cup U_{t_n} = T\)、\(f\)は\(T\)の中へのものであったことに反する矛盾。
したがって、\(f\)はコンバージ（収束）する。
ステップ3:
各ユニバーサルネットはコンバージ（収束）すると仮定しよう。
ステップ4:
\(T\)の何らかのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションでメンバーたちの各ファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）が空でないもの各々に対して、当該コレクションのインターセクション（共通集合）は空でないことを見る。
\(\{C_j \vert j \in J\}\)を任意のそうしたコレクションであるとしよう。
それに、メンバーたちの全てのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）たちを追加し、結果を\(\{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)としよう。
\(\{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)は、\(T\)の何らかのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションでメンバーたちの各ファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）が空でないあるものである、なぜなら、各追加されたメンバーはクローズド（閉）である、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのあるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として、そして、メンバーたちの各ファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）は元のメンバーたちのあるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）である。
\(\{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)に、以下を満たすリレーション（関係）（あるパーシャルオーダリング（半順序））、つまり、\(C_{j'} \le C_{l'}\)、もしも、\(C_{l'} \subseteq C_{j'}\)である場合、そしてその場合に限って、を持たせよう。
\(\{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)の当該リレーション（関係）を持つものはあるダイレクテッドセット（有向集合）である、なぜなら、1) \(C_{j'} \leq C_{j'}\)、各\(C_{j'} \in \{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)に対して: \(C_{j'} \subseteq C_{j'}\); 2) もしも、\(C_{j'} \leq C_{l'}\)および\(C_{l'} \leq C_{m'}\)である場合、\(C_{j'} \leq C_{m'}\): \(C_{m'} \subseteq C_{l'} \subseteq C_{j'}\); 3) 各ペア\(C_{j'}, C_{l'} \in \{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)に対して、以下を満たすある\(C_{m'} \in \{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)、つまり、\(C_{j'} \leq C_{m'}\)および\(C_{l'} \leq C_{m'}\)、がある: \(C_{m'} := C_{j'} \cap C_{l'} \in \{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)および\(C_{m'} \subseteq C_{j'}, C_{l'}\)。
当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による\(T\)の中へのあるネット\(f: \{C_{j'} \vert j' \in J'\} \to T\)で、\(C_{j'}\)をある\(c_{j'} \in C_{j'}\)へマップする、チョイス（選択）公理によって、ものを定義しよう: \(C_{j'}\)は空でない、なぜなら、それは、\(\{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)のメンバーたちのあるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）である。
あるユニバーサルサブネット\(f \circ g: D \to T\)、ここで、\(g: D \to \{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)はあるファイナルマップ（写像）、がある、任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットはあるユニバーサルサブネットを持つという命題によって。
当該仮定によって、\(f \circ g\)はある\(t \in T\)へコンバージ（収束）する。
\(C_{j'} \in \{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、\(d \le d'\)を満たす各\(d' \in D\)に対して、\(C_{j'} \le g (d')\)、なぜなら、\(g\)はファイナルである、それは、\(g (d') \subseteq C_{j'}\)に等しい。
\(f \circ g (d') \in g (d') \subseteq C_{j'}\)、したがって、\(f \circ g\)はイベンチュアル（最終的）に\(C_{j'}\)内にある。
\(t \in \overline{C_{j'}} = C_{j'}\)、任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでイベンチュアル（最終的）に任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）内にあり当該スペース（空間）上でコンバージ（収束）するものに対して、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあるという命題によって。
それが含意するのは、\(t \in \cap \{C_{j'} \vert j' \in J'\}\)、それが含意するのは、\(\cap \{C_{j'} \vert j' \in J'\} \neq \emptyset\)。
ステップ5:
したがって、\(T\)はコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
